Módulos irredutíveis de dimensão 3 sobre zero álgebras e bases de Gröbner

• Ano de defesa: 2024
• Autor(a) principal: Rodríguez López, Eder Alejandro
• Outros Autores: http://lattes.cnpq.br/2285505634388539
• Tipo de documento: Dissertação
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Universidade Federal do Amazonas; Instituto de Ciências Exatas; Brasil; UFAM; Programa de Pós-graduação em Matemática
• Palavras-chave em Português: Álgebra; Álgebra comutativa; CIENCIAS EXATAS E DA TERRA: MATEMATICA: ALGEBRA: GEOMETRIA ALGEBRICA; Bases de Gröbner; Algoritmo da divisão general; Critério de Buchberger; Zero álgebra; Módulos Irredutíveis; Gröbner bases; General division algorithm; Buchberger criterion; Zero algebra; Irreducible modules
• Link de acesso: https://tede.ufam.edu.br/handle/tede/10073

Neste trabalho, descrevemos os Módulos Irredutíveis de dimensão 3 em zero álgebras, na classe de álgebras comutativas e de potências associativas de nilíndice quatro, utilizando a teoria das bases de Gröbner. A abordagem consiste em explorar o produto da álgebra sobre o módulo, representado por matrizes $3 \times 3$ ao fixar uma base do módulo. O objetivo é identificar as matrizes, excluindo aquelas relacionadas por conjugação. Mesmo a classificação dos módulos irredutíveis de dimensão 3 sobre a zero álgebra de dimensão dois seja conhecida, nós propomos um método computacional que utiliza as bases de Gröbner para obter essa classificação. Durante o processo de classificação, definimos a variedade afim das matrizes nilpotentes. No entanto, ao perceber que todos os polinômios que surgem na classificação proposta são homogêneos, é mais apropriado trabalhar com o espaço projetivo em vez do espaço afim. Apresentamos um procedimento computacional no sistema algébrico SageMath para calcular e simplificar esse processo. Embora a base de Gröbner obtida para matrizes $3 \times 3$ seja pequena, o programa SageMath não possui suporte executável em paralelo. Como resultado, a capacidade computacional do cluster, composto por 240 núcleos, foi equivalente à de um laptop comum. Portanto, com a versão em série, não foi possível concluir a classificação.