Módulos irredutíveis de dimensão 3 sobre zero álgebras e bases de Gröbner - Rodríguez López, Eder Alejandro (2024)
Neste trabalho, descrevemos os Módulos Irredutíveis de dimensão 3 em zero álgebras, na classe de álgebras comutativas e de potências associativas de nilíndice quatro, utilizando a teoria das bases de Gröbner. A abordagem consiste em explorar o produto da álgebra sobre o módulo, representado por matrizes $3 × 3$ ao fixar uma base do módulo. O objetivo é identificar as matrizes, excluindo aquelas relacionadas por conjugação. Mesmo a classificação dos módulos irredutíveis de dimensão 3 sobre a zero álgebra de dimensão dois seja conhecida, nós propomos um método computacional que utiliza as bases de Gröbner para obter essa classificação. Durante o processo de classificação, definimos a variedade afim das matrizes nilpotentes. No entanto, ao perceber que todos os polinômios que surgem na classificação proposta são homogêneos, é mais apropriado trabalhar com o espaço projetivo em vez do espaço afim. Apresentamos um procedimento computacional no sistema algébrico SageMath para calcular e simplificar esse processo. Embora a base de Gröbner obtida para matrizes $3 × 3$ seja pequena, o programa SageMath não possui suporte executável em paralelo. Como resultado, a capacidade computacional do cluster, composto por 240 núcleos, foi equivalente à de um laptop comum. Portanto, com a versão em série, não foi possível concluir a classificação.