Determinação de integrais primeiras para sistemas dinâmicos em duas e três dimensões com um algoritmo linear

• Ano de defesa: 2024
• Autor(a) principal: Ferreira, Higor Silva
• Tipo de documento: Dissertação
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Universidade do Estado do Rio de Janeiro; Centro de Tecnologia e Ciências::Instituto de Física Armando Dias Tavares; Brasil; UERJ; Programa de Pós-Graduação em Física
• Palavras-chave em Português: Equações diferenciais ordinárias; Integrais (Matemática); Sistemas dinâmicos diferenciais; Algoritmos; Simetria (Matemática); Integrais primeiras Liouvillianas; Equações diferenciais ordinárias de segunda ordem; Simetrias não-locais; Ordinary differential equations; Integrals; Differentiable dynamical systems; Algorithms; Symmetry (Mathematics); Liouvillian first integrals; Second order ordinary differential equations; Non-local symmtries; CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::FISICA::FISICA GERAL::METODOS MATEMATICOS DA FISICA
• Link de acesso: http://www.bdtd.uerj.br/handle/1/22050

Este trabalho se propõe, inicialmente, à uma abordagem ampla no que diz respeito aos métodos não-classificatórios ou generalistas para tratar equações diferenciais ordinárias de primeira e segunda ordem. Mais especificamente estaremos interessados em EDO’s racionais (diretamente relacionadas a sistemas diferenciais polinomiais autônomos) e, para tanto, nosso ponto de partida consiste do estudo de estruturas teóricas introduzidas em fins do século XIX, em referência aos trabalhos de S. Lie e G. Darboux. Neste sentido, apresentamos alguns detalhes em cada uma das teorias de modo a nos permitir estabelecer o procedimento misto denominado método da função-S, implementado muito recentemente pelo grupo de pesquisas da UERJ atuante na área. É de amplo conhecimento que tais métodos apresentam complicações para casos específicos, que ficarão evidentes ao longo da leitura. Assim, implementar e aperfeiçoar algoritmos para lidar com equações deste tipo, quando integráveis, tem sido a principal motivação do grupo. Portanto, o desenvolvimento mais ao final deste trabalho apresenta, como proposta, um método de alta eficácia que nos permite determinar polinômios de Darboux de modo linear (os autopolinômios do campo vetorial associado a estas equações são de fundamental importância para a construção de um fator integrante). Nesse aspecto, reforçamos algumas ideias introduzidas em capítulos precedentes (utilizando-nos de uma notação mais conforme com desenvolvimentos recentes do grupo) e instituímos, definitivamente, os algoritmos para nossos fins, de modo que, um destes se aplica às 1EDO’s racionais que apresentam solução geral Darbouxiana e outros dois se encarregam de problemas envolvendo 2EDO’s, em subcasos que se apresentam como: 2EDO’s racionais com uma integral primeira elementar e outra não-Liouvilliana; 2EDO’s racionais com duas integrais primeiras Liouvillianas, sendo uma delas elementar. Concluímos com uma discussão sobre o desempenho do método em termos computacionais, que de antemão podemos afirmar, seguramente, representa uma rotina de eficiência singular (devido a linearidade das equações envolvidas no procedimento) em termos de memória consumida e tempo de execução, também, acrescentamos ao final um exemplo de aplicação do método à equação de um oscilador não-linear (Duffing van-der Pol) de amplo interesse para aplicações diversas.