Homologia de contato cilíndrica para fluxos de Reeb fracamente convexos

• Ano de defesa: 2022
• Autor(a) principal: Oliveira, Ana Kelly de
• Tipo de documento: Tese
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP
• Palavras-chave em Português: Cylindrical contact homology; Fracamente convexo; Gluing; Homologia de contato cilíndrica; Weakly convex
• Link de acesso: https://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45131/tde-02052022-115134/

A Homologia de Contato Cilíndrica é uma ferramenta essencial no estudo das órbitas de Reeb periódicas. No entanto, pode não estar bem definida devido a alguns problemas de transversalidade envolvendo recobrimento múltiplos de curvas e órbitas com baixo índice. Por exemplo, Hutchings e Nelson provaram que a homologia de contato cilíndrico está bem definida sob a suposição de convexidade dinâmica, ou seja, quando os índices de todas as órbitas de Reeb são de pelo menos 3. Consideramos fluxos de Reeb de formas de contato fracamente convexas, ou seja, formas de contato cujas órbitas Reeb têm um índice de pelo menos 2. O principal obstáculo na definição do operador de fronteira é a presença de alguns buildings indesejáveis que surgem como SFT-limites de uma família de cilindros pseudo-holomorfos de índice de Fredholm 2. Concentramo-nos em buildings com dois níveis. O primeiro nível contém uma curva com um índice de Fredholm negativo e o segundo nível contém um número finito de planos rígidos assintóticos a mesma órbita de Reeb de índice $2$. Usamos a Teoria de Gluing de Hutchings e Taubes para encontrar a continuação da família de cilindros após uma colagem adequada da curva multi-coberta com planos rígidos opostos assintóticos à órbita índice 2. Então a construção do operador diferencial se resume ao caso dinamicamente convexo e a homologia de contato cilíndrico está bem definida. Assumimos que a variedade de contato admite um preenchimento simplético asférico. Esta suposição implica a existência dos planos rígidos opostos requeridos, assintóticos às órbitas de índice 2.