Some topics on finite fields

• Ano de defesa: 2022
• Autor(a) principal: José Alves Oliveira
• Tipo de documento: Tese
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: eng
• Instituição de defesa: Universidade Federal de Minas Gerais; Brasil; ICEX - INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS; Programa de Pós-Graduação em Matemática; UFMG
• Palavras-chave em Português: Finite fields; Hypersurfaces; Fermat hypersurfaces; Artin-Schreier hypersurfaces; Elliptic curves; Character sums; Gauss sums; Jacobi sums; Purity of Gauss and Jacobi sums; Rational points; Maximal curves; Perfect fields; Rational functions; Iterated maps; Functional graphs; Dynamics over finite fields; Dynamics of polynomial maps; Linearized polynomails; Rank metric codes; Matemática – Teses; Corpos finitos (Álgebra) -Teses; Hipersuperfícies – Teses; Somas de Gauss – Teses; Curvas algébricas – Teses
• Link de acesso: http://hdl.handle.net/1843/40367; https://orcid.org/0000-0003-3346-3848

Neste trabalho, nós estudamos alguns problemas teóricos na teoria de corpos finitos e que são de interesse para várias aplicações, bem como em teoria de códigos, criptografia e áreas relacionadas. Em particular, nós estudamos o número de pontos racionais sobre hipersuperfícies e apresentamos cotas para tais números e fórmulas explícitas nos casos em que certas condições são satisfeitas. Para algumas dessas hipersuperfícies, nós também apresentamos condições para a maximalidade e minimalidade do número de pontos com respeito à cota de Weil. Outro tópico de interesse nessa tese é a interação de polinômios sobre corpos. Por exemplo, nós estudamos o grafo funcional associado à iteração de polinômios sobre corpos finitos. Nós também estudamos o número de soluções da equação $R^{(n)}(x)=\alpha$ sobre $\overline{\mathbb{F}}_q$ para uma função racional $R$. O último tópico dessa tese contém o estudo de códigos com métrica de posto que são construídos com polinômios linearizados sobre $\mathbb{F}_q$ os chamados códigos Gabidulin retorcidos.