Integrabilidade segundo Darboux de sistemas que descrevem aplicações harmônicas.

Detalhes bibliográficos
Ano de defesa: 2024
Autor(a) principal: Arouca, Igor Barbosa lattes
Orientador(a): Ferraioli, Diego Catalano lattes
Banca de defesa: Ferraioli, Diego Catalano lattes, Mandolesi, André Luís Godinho lattes, Silva, Tarcísio Castro lattes
Tipo de documento: Dissertação
Tipo de acesso: Acesso aberto
Idioma: por
Instituição de defesa: Universidade Federal da Bahia
Programa de Pós-Graduação: Pós-Graduação em Matemática (PGMAT) 
Departamento: Instituto de Matemática
País: Brasil
Palavras-chave em Português:
Área do conhecimento CNPq:
Link de acesso: https://repositorio.ufba.br/handle/ri/40468
Resumo: O objetivo deste trabalho é estudar a integrabilidade segundo Darboux de alguns sistemas diferenciais exteriores de Euler-Lagrange que geometricamente descrevem aplicações harmônicas. Em particular, consideramos as aplicações harmônicas do espaço de Minkowski bidimensional para variedades Riemannianas bidimensionais e provamos que, localmente, e a menos de isometrias, os sistemas deste tipo que são integráveis segundo Darboux com até 1-prolongamento são somente 4. Classificamos portanto, a menos de transformações de ponto, os correspondentes sistemas hiperbólicos de equações diferenciais a derivadas parciais de Euler-Lagrange. O trabalho se subdivide em cinco capítulos. No Capítulo 1, revisamos as principais preliminares, dentre as quais a teoria dos fibrados, dos espaços de jatos e dos sistemas diferenciais exteriores. Em particular, apresentamos a noção de integrabilidade segundo Darboux de um sistema diferencial exterior. No Capítulo 2, apresentamos o formalismo variacional de Poincaré-Cartan, introduzindo conceitos fundamentais para este estudo, dentre os quais a geometria de multicon- tato e a forma de Poincaré-Cartan. No Capítulo 3, calculamos o sistema diferencial exterior de Euler-Lagrange para aplicações harmônicas entre variedades pseudo-Riemannianas. No Capítulo 4, restringimos e adaptamos os cálculos do Capítulo 3 às aplicações harmônicas do espaço de Minkowski bidimensional para variedades Riemannianas bidimensionais. Estudamos então a integrabilidade segundo Darboux dos sistemas diferenciais exteriores de Euler-Lagrange que descrevem essas aplicações, e encontramos assim condições para a integrabilidade segundo Darboux desses sistemas em termos da curvatura de Gauss das variedades de contradomínio das aplicações harmônicas. Finalmente, no Capítulo 5, elucidando os resultados de classi- ficação obtidos por R.Ream, J.N. Clelland e P.J. Vassiliou, classificamos as métricas e os sistemas de equações diferenciais das correspondentes aplicações harmônicas, para os quais os sistemas diferenciais exteriores de Euler-Lagrange são integráveis segundo Darboux com até 1-prolongamento.