Estudo das equações diferenciais via sistemas diferenciais exteriores e suas reduções por simetrias.

• Ano de defesa: 2024
• Autor(a) principal: Leite Júnior, João Augusto de Moura
• Orientador(a): Ferraioli, Diego Catalano
• Banca de defesa: Ferraioli, Diego Catalano , Silva, Tarcísio Castro , Alves, Benigno Oliveira
• Tipo de documento: Dissertação
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Universidade Federal da Bahia
• Programa de Pós-Graduação: Pós-Graduação em Matemática (PGMAT)
• Departamento: Instituto de Matemática
• País: Brasil
• Palavras-chave em Português: Sistemas diferenciais exteriores; Espaços de jatos; Equações diferenciais não lineares; Simetrias; Transformações de Bäcklund; Fibrados
• Área do conhecimento CNPq: CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA
• Link de acesso: https://repositorio.ufba.br/handle/ri/40561

Em linhas gerais, a presente dissertação visa estudar, sob a perspectiva geométrica dos espaços de jatos e dos sistemas diferenciais exteriores, as equações diferenciais e algumas relações que podem ser estabelecidas entre suas soluções. Como veremos, a partir do processo de redução por simetrias de sistemas diferenciais exteriores, podemos sistematicamente construir transformações que relacionam soluções de equações obtidas por um processo de redução, de modo que, assim, podemos estabelecer transformações de Bäcklund entre equações diferenciais. O trabalho se subdivide em cinco capítulos. No Capítulo 1, são apresentados alguns prerrequisitos acerca da teoria das variedades suaves, aproveitando o ensejo para introduzir as principais notações e convenções utilizadas ao longo do texto. Sucessivamente, no Capítulo 2, são mostrados alguns resultados básicos no âmbito das submersões e, mais especificamente, são estabelecidos alguns fatos sobre os fibrados, que serão úteis para o desenvolvimento dos próximos capítulos. O Capítulo 3, aproveitando-se do instrumental teórico exposto nos capítulos anteriores, introduz os espaços de jatos de seções do fibrado. Assim, discute-se a interpretação das equações diferenciais como subvariedades desses ambientes geométricos e, a partir disso, são apresentadas algumas importantes noções de simetria, juntamente com alguns resultados básicos. O Capítulo 4 aborda o tema da redução por simetrias de equações diferenciais do ponto de vista da teoria dos sistemas diferenciais exteriores. Portanto, depois de uma breve introdução ao formalismo dos sistemas diferenciais exteriores, são logo discutidas as aplicações destes ao estudo das equações diferenciais, visando principalmente elucidar os aspectos que mais desempenham um papel central na redução por simetrias. Por fim, o Capítulo 5 trata do tema principal deste trabalho, que é a descrição de um método útil para obter transformações de Bäcklund por meio de diferentes reduções de um mesmo sistema diferencial exterior.