A systematic approach to solve ordinary differential equations using a generalization of the integrating factor

• Ano de defesa: 2023
• Autor(a) principal: Fogaça, Matheus Janczkowski
• Tipo de documento: Dissertação
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Palavras-chave em Português: Engenharia mecânica; Equações diferenciais ordinarias; Sistemas lineares; Convoluções (Matematica)
• Link de acesso: https://repositorio.udesc.br/handle/UDESC/18288

Equações diferenciais ordinárias (EDOS) lineares aparecem em muitos problemas reais, como em Engenharia e e em Matemática Aplicada. EDOS e sistems de EDOs acopladas são comumente difíceis e complicadas de se resolver, especialmente quando os coeficientes são funções da variável independente. Em virtude disso, mesmo quando os coeficientes são constantes, métodos numéricos são frequentemente escolhidos, apesar do custo computacional e das fontes de erro. Abordagens analiticas -como variação de parâmetros, coeficientes indeterminados, transformadas de Laplace e de Fourier - necessitam de uma solução candidato ou necessitam de complicadas operações algébricas e de inversão. Para atacar este problema, o Fator Integrante Generalizado (Gill, do inglês Generalized Integrating Factor) é proposto, o qual é uma generalização do fator integrante de Leibniz. O novo método pode solucionar EDOs lineares de ordem a lançando mão de uma abordagem de redução de ordem. O método é apresentado para EDOs de ordem geral, embora este trabalho foque em EDOs de segunda ordem, em que as soluções homogênea e particular são o produto de convoluções. Em seguida, a técnica é particularizada para o caso de coeficientes constantes e para um conjunto de importantes funções de excitação, tanto continuas como descontinuas. As vantagens de exatidão e baixo custo computacional são apresentadas com experimentos numéricos e com a análise de complexidade dos algoritmos associados. Como a solução particular depende da solução analitica de uma convolução, esta deve ser particularizada para alguns conjuntos de excitação. Mesmo assim, nem todas as excitações têm a convolução facilmente (sequer é possível) solucionada analiticamente. Logo, o método Séries de Heaviside (HS, do inglês Heaviside Series) é proposto como uma extensão ao GIE. Nesta nova abordagem, a função de excitação é aproximada usando uma série finita de degraus de Heaviside multiplicados por funções polinominis. A abordagem proposta pode ser visualizada como uma abordagem mista, já que a solução homogênea é analítica e a solução particular é analítica sobre uma excitação aproximada. Utilizando experimentos numéricos, altas taxas de convergência foram medidas (entre 2 e 4), assim como um baixo custo computacional. Portanto, a familia de métodos proposta prova a si mesma como confiável e barata na atividade de resolver EDOS lineares em problemas reais. No decorrer da dedução dos métodos Gille HS para a solução de sistemas de EDOs lineares acopladas com coeficientes matriciais constantes, a hipótese de modos normais clássicos foi utilizada para introduzir algumas simplificações no processo de solução. Esta hipótese, entretanto, não é necessária para fazer a família de métodos proposta funcionar, e, em consequência, uma particularização para a solução quando os modos de de vibrar não são normais clássicos é apresentada. De forma ainda mais importante, este trabalho mostra que o custo computacional não aumenta muito quando os modos não são normais clássicos, logo, a aplicação destes métodos continua interessante mesmo nesta situação. Por esta razão, assoluções homogênea e particular, no caso de Delta de Dirac e do HS, são explicitamente fomecidas, tal que funções de excitação mais complexas possam ser construidas pelo uso destas. É provado também que as expressões naturalmente retornam às expressões anteriores quando os modos de vibrar são normais clássicos, o que mostra a consistência da abordagem. Além disso, algoritmos são apresentados para indicar uma forma eficiente de implementar os métodos