Modeling and optimization of compactness on the selection of geographical regions

Detalhes bibliográficos
Autor(a) principal: Medeiros, Duarte Cambotas de
Data de Publicação: 2024
Tipo de documento: Dissertação
Idioma: eng
Título da fonte: Repositórios Científicos de Acesso Aberto de Portugal (RCAAP)
Texto Completo: http://hdl.handle.net/10400.5/95450
Resumo: Tese de Mestrado, Estatística e Investigação Operacional, 2024, Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências
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spelling Modeling and optimization of compactness on the selection of geographical regionsCompactnessMoment of InertiaDistricting Problemp-Compact Regions ProblemTeses de mestrado - 2024Domínio/Área Científica::Ciências Naturais::MatemáticasTese de Mestrado, Estatística e Investigação Operacional, 2024, Universidade de Lisboa, Faculdade de CiênciasTopologicamente, um conjunto A, definido num espaço Euclidiano, é compacto, se e somente se A é um conjunto fechado e limitado. No entanto, geometricamente, a compacidade de uma figura geométrica mede o grau de compacidade da mesma. Por outras palavras mede, o quão uma figura geométrica se assemelha a um círculo. Ao longo dos anos, vários autores propuseram diversas medidas de compacidade. Algumas das medidas propostas utilizam características da figura geométrica para calcular a compacidade, nomeadamente, a área, o perímetro ou o diâmetro (ou distância máxima). Outras, baseiam-se na comparação da figura geométrica com o círculo inscrito ou o círculo circunscrito. Para além disso, apesar de não serem tão comuns na literatura, algumas medidas de compacidade baseiam-se na comparação com uma figura padrão e na dispersão de elementos de área. Frequentemente, estuda-se a compacidade de dois tipos de figuras geométricas - figuras contínuas e figuras discretas. As figuras contínuas referem-se a figuras que podem ser desenhadas com o auxilio de lápis e papel, como por exemplo, limites administrativos. Figuras discretas, por outro lado, são figuras resultantes da união de pixeis, que podem tomar várias formas. Apesar de não existir uma definição formal para compacidade de uma figura geométrica, esta, tem propriedades interessantes para diversas aplicações, nomeadamente na seleção de distritos eleitorais. Uma das medidas de compacidade mais utilizadas neste contexto é o momento de inércia, também conhecido como o segundo momento de área. Em Investigação Operacional a compacidade está presente no Districting Problem e é uma parte fulcral do mesmo. O Districting Problem é um problema NP-difícil que consiste na criação de distritos compactos através da seleção de unidades básicas, indivisíveis. Este problema tem diversas aplicações na vida real, nomeadamente em logística. Por exemplo, uma empresa com vários clientes precisa de dividir os mesmos por regiões geográficas compactas de forma a que um único trabalhador visite os clientes dessa região e, para além disso, a procura esperada e o tempo de trabalho seja divido homogeneamente pelos trabalhadores. Assim, dependente da aplicação, há critérios que devem ser tidos em consideração para além da compacidade, tais como a contiguidade ou o equilíbrio. A contiguidade refere-se há exigência das unidades básicas de cada distrito estarem interligadas e o equilíbrio refere-se à homogeneidade de uma ou mais características importantes. Esta dissertação foca-se no desenvolvimento e avaliação de modelos, em Programação Inteira, para a seleção de distritos compactos. Os modelos utilizados baseiam-se em três medidas de compacidade comuns na literatura. Das várias medidas de compactidade propostas na literatura, as três medidas de compacidade seccionadas baseiam-se no momento de inércia, na distância máxima e no perímetro. Estas medidas são caracterizadas por serem a razão entre a área da figura geométrica e um dos parâmetros anteriormente referidos. Os modelos desenvolvidos tentam criar distritos compactos, fixando o numerador da fração, a área, num intervalo relativamente pequeno, e minimizando o denominador. Considerando um conjunto de unidades básicas I. Sabe-se para qualquer unidade básica a área e o perímetro. Para além disso, também é sabido a distância máxima e o perímetro comum entre quaisquer duas unidades básicas de I. Os modelos utilizados constroem distritos com área mínima L e área máxima U, minimizando algum dos critérios selecionados. Dois conjuntos de modelos foram criados, um para selecionar um único distrito compacto e outro para selecionar múltiplos distritos compactos. Neste último, todas as unidades básicas têm de pertencer a um e um só distrito. Para cada conjunto de modelos, criaram-se seis modelos com diferentes funções objetivo. As funções objetivo utilizadas baseia-se na minimização do primeiro e segundo momento de área, do primeiro e segundo momento de área multiplicado pela área da unidade básica (respetivamente, primeiro e segundo momento de área pesado), da distância máxima e do perímetro. Cada um dos modelos foi otimizado de forma a reduzir o número de variáveis e, consequentemente, reduzir o tempo de otimização. Os doze modelos propostos foram testados em cinco instâncias diferentes, tendo apresentado resultados distintos. Três instâncias referem-se ao mapa dos concelhos de Portugal Continental, enquanto que as outras duas correspondem a regiões geográficas divididas homogeneamente em quadrados ou em hexágonos. Desenvolveu-se também, um conjunto de algoritmos em Python para calcular todos os parâmetros dos modelos, assim como, desenhar algumas das instâncias utilizadas e as soluções obtidas. Os resultados apresentados ao longo deste trabalho correspondem a valores de L e de U respetivamente de 15% e 20%. Devido à complexidade dos modelos, limitou-se o tempo máximo otimização em de 10000 segundos, menos de 3 horas. Os modelos de seleção de um único distrito obtiveram sempre solução ótima, independentemente da função objetivo, enquanto que alguns modelos para a seleção de múltiplos distritos obtiveram soluções sub-otimais. Reparou-se, ao selecionar múltiplos distritos, que minimizar a distância máxima e o perímetro é mais caro computacionalmente que minimizar os momentos de área ou os momentos de área pesados. Nos modelos apresentados, não foram adicionadas restrições de contiguidade, o que levaram a algumas soluções não-contíguas. A compacidade é um conceito subjetivo que depende da perceção de cada individuo. Assim, para avaliar as soluções obtidas pelos modelos de forma objetiva escolhue-se um conjunto de medidas e mediu-se a compacidade de cada distrito para cada uma das medidas. As medidas de avaliação dos modelos correspondem às medidas de compacidade na qual os modelos se baseiam. Esta avaliação foi realizada para os modelos de seleção de um único distrito, como para os modelos de seleção de múltiplos distritos. Neste último, apresenta-se o valor mínimo, máximo e médio da compactidade para cada instância. Os modelos que minimizam o diâmetro e o perímetro dos distritos obtiveram boas soluções na seleção de um único distrito. Nos modelos que criam um único distrito verificou-se que para a medida compacidade baseada no perímetro, o melhor modelo foi o que minimiza o perímetro do distrito. O mesmo acontece para a medida de compacidade baseada na distância máxima e o modelo baseado na distância máxima. Relativamente, à medida de compacidade baseada no momento de inércia, o modelo que obteve melhores resultados foi o diâmetro, para as instâncias contínuas, o perímetro para a instância com quadrados e os momentos de área para a instância com hexágonos. Os modelos baseados na distância máxima e no perímetro apresentaram sempre soluções contíguas, o que nem sempre aconteceu com os modelos baseados nos momentos de área e nos momentos de área pesados. Para além disso, por serem modelos de minimização, assim que a restrição de área do distrito é satisfeita, a otimização é terminada. Consequentemente, outras unidades básicas poderiam ser adicionadas não piorando a solução ótima, e em alguns casos, até melhorar a compacidade. Assim, modelos de Programação Inteira Fracionaria, potencialmente, podem formular mais adequadamente a compacidade. Em todo o caso, os modelos apresentados podem beneficiar de uma análise pós-otimização. As soluções destes modelos podem-se considerar soluções iniciais para uma heurística que maximiza a compacidade, e, dependente da aplicação, tem, também, em conta outros critérios como a contiguidade ou o balanço. Para os modelos de seleção de múltiplos distritos verificou-se que os modelos baseados nos momentos de área e momentos de área pesados, são os únicos capazes de encontrar uma solução ótima num intervalo de tempo, relativamente baixo. Assim, estes modelos podem ser mais adequados para este tipo de problema. Por fim, mais testes computacionais devem ser realizados com o objetivo de criar distritos a compactos em Programação Inteira. Consequentemente, o desenvolvimento de outros modelos mais eficientes e/ou baseados noutras medidas de compacidade permitirão a comparação entre as diferentes abordagens para resolver o problema.Compactness is a natural characteristic of every geometric shape. Throughout the years, many authors have proposed different measures to quantify how circular a shape is. The most commonly used measures consist of the division of the area of the shape with another characteristic, including moment of inertia (or second moment of area), diameter, or perimeter. Although more recent works reflect on the moment of inertia compactness measure, there is no consensus on the best way to measure compactness. This property of shapes is applied in Operations Research in the Districting Problem, where indivisible basic units are selected to create compact and contiguous districts for a real-world application. This problem has many applications including political districting or design sales territories. Our approach uses three compactness measures, using six different Integer Programming models, to test the best way to model compactness. We created models to select a single district or multiple districts. Our models were tested using instances of the municipalities of Portugal, where each basic unit has a unique shape and area, and regions divided into uniform squares and hexagons. The models used focus on minimizing the first moment of area (multiplied by the area), the second moment of area (multiplied by the area), the diameter, and the perimeter, where each district has a fixed area interval. The solutions returned by the models had the compactness evaluated using the original compactness measures. Our analysis reveals significant variations in the configuration of each district and compactness scores across different evaluation measures. The models presented do not maximize compactness directly, since the optimal solution is reached when the area of the district is feasible. Minimizing the diameter or the perimeter of the districts is expensive computationally for selecting multiple districts, even though returning satisfying results in selecting a single district.Constantino, Miguel FragosoRepositório da Universidade de LisboaMedeiros, Duarte Cambotas de2024-11-19T16:39:16Z202420242024-01-01T00:00:00Zinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisapplication/pdfhttp://hdl.handle.net/10400.5/95450enginfo:eu-repo/semantics/openAccessreponame:Repositórios Científicos de Acesso Aberto de Portugal (RCAAP)instname:FCCN, serviços digitais da FCT – Fundação para a Ciência e a Tecnologiainstacron:RCAAP2025-03-17T16:27:51Zoai:repositorio.ulisboa.pt:10400.5/95450Portal AgregadorONGhttps://www.rcaap.pt/oai/openaireinfo@rcaap.ptopendoar:https://opendoar.ac.uk/repository/71602025-05-29T04:15:42.404330Repositórios Científicos de Acesso Aberto de Portugal (RCAAP) - FCCN, serviços digitais da FCT – Fundação para a Ciência e a Tecnologiafalse
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