Recorrências lineares, isometria, criptografia e outras aplicações envolvendo matrizes 2 por 2
Ano de defesa: | 2017 |
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Autor(a) principal: | |
Orientador(a): | |
Banca de defesa: | , , |
Tipo de documento: | Dissertação |
Tipo de acesso: | Acesso aberto |
Idioma: | por |
Instituição de defesa: |
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Cornelio Procopio |
Programa de Pós-Graduação: |
Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional
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Departamento: |
Não Informado pela instituição
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País: |
Brasil
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Palavras-chave em Português: | |
Área do conhecimento CNPq: | |
Link de acesso: | http://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/handle/1/4492 |
Resumo: | O presente trabalho tem como tema principal apresentar aplicações envolvendo matrizes de ordem 2. Para tanto, inicialmente é apresentada a definição de matrizes, as operações e suas propriedades, bem como, o estudo de matrizes transposta, invertíveis e o cálculo do determinante, nos restringindo a matrizes de ordem 2. Posteriormente, definimos isometria no plano como uma transformação geométrica que preserva distância e ângulos. Apresentamos as representações matriciais de rotação, translação e reflexão e mostramos que toda isometria é da forma ƒ (u) = T(u)+w, onde T é uma aplicação linear ortogonal. Definimos matrizes semelhantes e suas propriedades e encontramos condições necessárias e suficientes para que uma matriz de ordem 2 seja diagonalizável, bem como a matriz diagonal correspondente e a matriz conjugadora. Calculamos a n-ésima potência de uma matriz de ordem 2 diagonalizável e com isso resolvemos relações de recorrência lineares da forma xn+1 =axn+bxn-1, em particular a sequência de Fibonacci. Estudamos as cônicas representadas pela equação ax2+2bxy+cy2+ dx+ey+ƒ=0, onde através de isometrias identificamos como sendo, uma elípse, hipérbole, parábola, ponto, reta, um par de retas paralelas ou concorrentes, e até mesmo o conjunto vazio. Finalizamos com a criptografia utilizando multiplicação de matrizes e o cálculo de matrizes inversas. |