Uma conjectura de Erdos e Hajnal

• Ano de defesa: 2023
• Autor(a) principal: Enju, Rodrigo Aparecido
• Tipo de documento: Dissertação
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP
• Palavras-chave em Português: Chromatic number; Cintura; Girth; Grafo de Kneser; Kneser graph; Número cromático; Shift graph; Type graph
• Link de acesso: https://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45134/tde-15032023-190119/

Um resultado de Erdos demonstra a existência de grafos com número cromático e cintura arbitrariamente grandes. Temos então que um clique suficientemente grande contém um grafo com número cromático e cintura grandes como subgrafo, porém muitos grafos de interesse não necessariamente contém cliques grandes, então é interessante encontrar outra condição que garanta a existência de subgrafos com número cromático e cintura grandes. Uma conjectura de Erdos e Hajnal diz que todo grafo com número cromático suficientemente grande contém um subgrafo com número cromático e cintura grandes. O objetivo deste trabalho é estudar tal conjectura. O texto começa com uma breve apresentação de construções livres de triângulos. Em particular, é demonstrada uma construção de Codenotti, Pudlák e Resta, por meio de planos projetivos. O tópico principal do texto começa com uma demonstração de Rödl de que todo grafo com número cromático suficientemente grande contém um subgrafo livre de triângulos e com número cromático grande. Em sequência, apresentaremos uma demonstração de que grafos com número cromático suficientemente grande contém algum circuito ímpar grande. Apresentaremos também um resultado de Mohar e Wu, que demonstra que a família dos grafos de Kneser respeita a conjectura de Erdos e Hajnal. Outro resultado apresentado é de Gábor Tardos, demonstrando que a família dos shift graphs respeita a conjectura de Erdos e Hajnal. E por fim apresentaremos alguns breves resultados sobre os type graphs, mostrando casos que respeitam a conjectura de Erdos e Hajnal.