Máximos e mínimos na Educação Básica: abordagens elementares sem derivadas

• Ano de defesa: 2019
• Autor(a) principal: Rocha, Wilian Oliveira
• Tipo de documento: Dissertação
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP
• Palavras-chave em Português: Averages; Averages' inequalities; Conhecimentos matemáticos especializados e de horizontes de conteúdo; Desigualdades entre médias; Maxima and minima; Máximos e mínimos; Médias; Specialized and horizons knowledge of mathematical content.
• Link de acesso: http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45135/tde-07082019-123001/

Nosso objetivo com este trabalho é contribuir para o aperfeiçoamento da ação educativa do professor de matemática na Educação Básica, tanto em formação inicial quanto em formação continuada. Apresentamos algumas abordagens elementares para estudo de Máximos e Mínimos que utilizam conteúdos próprios dos anos finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio embasados principalmente na obra Maxima and Minima without Calculus (NIVEN, 1981). Discutimos os conceitos de Conhecimento Especializado e de Horizontes de Conteúdo Matemático como justificativa para a relevância do uso deste material, que foram cunhados por pesquisadores da Universidade de Michigan, liderados por Deborah Ball no artigo Content Knowledge for Teaching: What Makes it Special? (2008). Trazemos uma análise crítica da abordagem utilizada para o tema em alguns livros didáticos de Ensino Médio. Discorremos sobre os quatro conceitos de Médias aritmética, geométrica, harmônica e quadrática partindo de problemas que originaram tais conceitos. Mostramos ainda como podem ser naturalmente associados a medidas de segmentos definidos em quadrados, trapézios e semicírculos que evidenciam claramente certas desigualdades entre elas. A seguir, como aplicação de produtos notáveis e trinômios do segundo grau, apresentamos problemas algébricos e geométricos envolvendo máximos e mínimos e discutimos suas soluções. Estabelecemos e provamos algebricamente as desigualdades entre as quatro médias (de até quatro números positivos), que são aplicadas para a determinação de pontos de máximo ou mínimo de funções variadas em problemas contextualizados. Por fim generalizamos e provamos as desigualdades entre as médias para n números positivos e desenvolvemos várias outras aplicações.