Existência e multiplicidade de soluções e existência de ground state para uma classe de problemas elípticos em RN com uma não linearidade geral

• Ano de defesa: 2022
• Autor(a) principal: Ailton Luiz Vieira
• Tipo de documento: Tese
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Universidade Federal de Minas Gerais; Brasil; ICX - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA; Programa de Pós-Graduação em Matemática; UFMG
• Palavras-chave em Português: p-Laplaciano fracionário; Bilaplaciano; Ordem superior; Criticalidade simétrica; Desigualdade de Moser-Trudinger; Crescimento polinomial; Crescimento exponencial; Multiplicidade; Soluções radiais; Soluções não radiais; Ground state; Matemática – Teses; Operador p-laplaciano – Teses; Ordem superior – Teses; Multiplicidade - Teses
• Link de acesso: http://hdl.handle.net/1843/60240

In this work, the existence of infinitely many radially symmetric solutions is proved for the problem $$(-\Delta_p)^s u=g(u) \ \ \textrm{ in } \ \ \mathbb{R}^N, \ \ u\in W^{s,p}(\mathbb{R}^N),$$ where $s\in (0,1], \ 2 \leq p < \infty, \ sp \leq N,\ 2 \leq N \in \mathbb{N}$ and $(-\Delta_p)^s$ is the (fractional if $0<s<1$) $p$-Laplacian operator. Both the cases were handled $sp=N$ and $sp<N.$ The nonlinearity $g$ was a function of Berestycki-Lions type with critical exponential growth if $sp=N$ and critical polynomial growth if $sp<N$. After that, decomposing the space $\mathbb{R}^N$ in the form $\mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^{N-2M}$, we prove the existence of infinitely many nonradially symmetric solutions in the cases $N=4 $ or $ N\geq 6$ and $N-2M \neq 1$, on that $M>0$ is integer and $0\leq M\leq N/2$. We also prove the existence of a ground state solution for the same problem. Next, we consider the problem $$\Delta^2 u=g(u) \ \ \textrm{ in } \ \ \mathbb{R}^N, \ \ u\in H^2(\mathbb{R}^N),$$ where $N = 4$ and $\Delta^2$ is the bilaplacian operator. We obtain the same results stated above. Finally, we consider the problem $$(-\Delta)^s u=g(u) \ \ \textrm{ in } \ \ \mathbb{R}^N, \ \ u\in W^{s,2}(\mathbb{R}^N),$$ where $s\in (1,2), \quad N\geq 3 $ and $(-\Delta)^s$ is the higher order fractional $2$-Laplacian operator and, once more, obtain the same results described in the case of the $p$-Laplacian operator.