Contando curvas: uma aplicação da geometria tropical

• Ano de defesa: 2024
• Autor(a) principal: Reis, Larissa Mariane dos
• Orientador(a): Ribeiro, Flaviana Andréa
• Banca de defesa: Martins, Renato Vidal da Silva , Feitosa, Frederico Sercio
• Tipo de documento: Dissertação
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF)
• Programa de Pós-Graduação: Mestrado Acadêmico em Matemática
• Departamento: ICE – Instituto de Ciências Exatas
• País: Brasil
• Palavras-chave em Português: Fórmula de caporaso-harris; Geometria enumerativa; Geometria tropical; Caporaso-harris formula; Enumerative geometry; Tropical geometry
• Área do conhecimento CNPq: CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA
• Link de acesso: https://repositorio.ufjf.br/jspui/handle/ufjf/18102

O presente trabalho tem como objetivo principal expor algumas técnicas da geometria tropical para contar o número de curvas algébricas no plano projetivo complexo de gênero g e grau d, que passam por 3d + g − 1 pontos em posição geral, denotado por Ncplx(d, g). Para isso, primeiramente introduziremos algumas noções de geometria algébrica necessárias para a compreensão do trabalho. Depois, apresentaremos a fórmula de Caporaso-Harris, utilizada para calcular Ncplx(d, g). A seguir, apresentaremos as curvas tropicais, definindo o semicorpo tropical e as hipersuperfícies tropicais, e provaremos o Teorema da Dualidade, que relaciona curvas tropicais com subdivisões do seu polígono de Newton. Ademais, exibiremos as curvas tropicais como grafos equilibrados. Posteriormente, definiremos os caminhos reticulados λ-crescente e explicaremos a relação que os mesmos possuem com o cálculo de Ncplx(d, g), utilizando as curvas tropicais. Por fim, mostraremos que os caminhos reticulados também satisfazem a Fórmula de Caporaso-Harris, sendo esse o principal resultado do nosso trabalho.