Técnicas de Contagem: do Princípio Fundamental da Contagem às Funções Geradoras

• Ano de defesa: 2021
• Autor(a) principal: Lima, Claudio Gustavo Gonçalves Loureiro
• Tipo de documento: Dissertação
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Universidade do Estado do Rio de Janeiro; Centro de Tecnologia e Ciências::Instituto de Matemática e Estatística; Brasil; UERJ; Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT)
• Palavras-chave em Português: Combinatorial analysis; Counting techniques; Catalan numbers; Recurrence relations; Generating functions; Análise combinatória; Funções geradoras; Técnicas de contagem; Números de catalan; Relações de recorrências; CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA
• Link de acesso: http://www.bdtd.uerj.br/handle/1/19455

No primeiro capítulo é feito um relato histórico do assunto estudado, para que seja possível localizar-se no tempo e ter conhecimento dos principais personagens envolvidos, para então, ao final, as técnicas de contagem mais básicas comecem a ser trabalhadas, dando os fundamentos para todo o restante do texto. Já no segundo capítulo, técnicas de contagem decorrentes das iniciais começam a ser demonstradas e desenvolvidas, de forma gradual, como numa sequência de raciocínios dedutivos, sendo todas elas motivadas por meio de exemplos e situações práticas, partindo desde o Princípio Fundamental de Contagem até técnicas mais complexas que envolvem o Princípio da Reflexão, os Números de Catalan, caminhos de Dyck e o teorema de Chung-Feller. Dando continuidade, o terceiro capítulo explora o Triângulo de Pascal com todos os seus principais teoremas associados. Os números binomiais são definidos e estendidos para valores negativos e até racionais, o que terá grandes consequências no restante do texto e inclusive para os cálculos de somatórios, que começam a ser desenvolvidos ainda no mesmo capítulo. No capítulo de número quatro, os conceitos de desenvolvimento de um binômio são trabalhados e expandidos, como em um polinômio de Leibniz. E, indo além, são introduzidas as Funções Geradoras e a técnica de caçar coeficientes, passando a ter agora uma posição de maior destaque no texto por se tratar de poderosa ferramenta nas resoluções de problemas até então não comportados pelos métodos anteriores. Na sequência, não poderiam faltar as recorrências, assunto amplamente desenvolvido no quinto capítulo, em que não apenas as técnicas de resolução são formalmente demonstradas como também uma gama de aplicações e casos da história da Análise Combinatória são contextualizados e resolvidos por meio dos métodos mostrados. Por fim, no capítulo seis culminam todas as técnicas de contagem e métodos de resolução de problemas de contagem anteriores. Permeando as relações de recorrência, somadas às técnicas demonstradas anteriormente, as Funções Geradoras mostram-se capazes de solucionar problemas de contagem avançados e complexos, como partições e triangulações.