Sobre somas de potências de termos consecutivos na sequência de Fibonacci k-generalizada

• Main Author: Rico Acevedo, Carlos Alirio
• Publication Date: 2018
• Format: Master thesis
• Language: por
• Source: Repositório Institucional da UFG
• dARK ID: ark:/38995/001300000mj1z
• Download full: http://repositorio.bc.ufg.br/tede/handle/tede/8329
• topic: Equações diofantinas; Sequência de fibonacci k-generalizada; Formas lineares em logaritmos; Metodos de redução; Diphantine equation; K-generalized fibonacci sequence; Linear form in logarithm; Reduction method; ALGEBRA::TEORIA DOS NUMEROS

Seja $k\geq 2$ inteiro, considere-se a recorrência $\fk{n}=\sum_{i=0}^{k}\fk{n-i}$ para $n>k$, com condições iniciais $F_{-(k-2)}^{(k)}=F_{-(k-3)}^{(k)}=\cdots=F_{0}^{(k)}=0$ e $F_{1}^{(k)}=1$, que é a sequência de Fibonacci $k$-generalizada. No caso quando $k=2$, é dizer, para a sequência de Fibonacci $\{F_n\}_{n\geq 0}$, vai-se mostrar que a equação $F_{n}^{x}+F_{n+1}^x=F_{m}$ não possui soluções inteiras não triviais $(n,m,x)$ para $x>2$. Por outro lado para, $k\geq 3$ se mostrar que a equação diofantina $\epi$ não possui soluções inteiras $(n,m,k,x)$ com $x\geq 2$. Em ambos casos, inicialmente são usados resultados como o Teorema de Matveev, para formas lineares em logaritmos e o método de redução de Dujella e Pethö, para limitar as variáveis $n, \; m$ e $x$ em intervalos onde o problema seja computável. Adicionalmente, no caso para $k\geq 3$ é usado que a raiz dominante da sequência de Fibonacci $k$-generalizada e exponencialmente próxima a 2, para limitar $k$, o que é um método desenvolvido por Bravo e Luca.