De modelos estatísticos α -conexões: um panorama geral da geometria da informação

• Ano de defesa: 2023
• Autor(a) principal: Trindade, Gabriel dos Reis
• Tipo de documento: Dissertação
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP
• Palavras-chave em Português: Amari-Chentsov tensor; Estatística; Fisher metric; Geometria da informação; Information geometry; Métrica de Fisher; Modelos estatísticos; Statistical models; Statistics; Tensor de Amari-Chentsov
• Link de acesso: https://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/55/55135/tde-09012024-110256/

Esse trabalho é uma apresentação sobre a geometria da informação, organizando-se como um compilado de conceitos e resultados fundamentais da área, bem como aplicações em teoria de informação quântica. Dito isso, é possível apresentar a geometria da informação entendendo-a como a área que se utiliza de ferramentas da geometria diferencial, em especial da geometria riemanniana, para resolver problemas advindos da estatística. Possuindo um caráter interdisciplinar que transpassa seu desenvolvimento histórico, ela interpreta modelos estatísticos como variedades diferenciáveis, munindo-os de uma métrica riemanniana e de um campo tensorial 3-covariante, chamados, respectivamente de métrica de Fisher e de tensor de Amari-Chentsov. No contexto de geometria da informação finita, eles são os únicos campos tensoriais covariantes de rank 3 invariantes por morfismos de Markov induzidos por núcleos de Markov congruentes. Além disso, dentre as famílias de distribuições de probabilidade, aquela constituída pelas distribuições gaussianas apresenta uma métrica de Fisher com um formato conhecido e, consequentemente, uma geometria familiar, sendo essa a geometria hiperbólica bidimensional. Ademais, os modelos estatísticos podem ser munidos de uma família uniparamétrica de conexões, chamadas de α-conexões, dentre as quais se destacam, especialmente no contexto finito, a conexão mistura e a exponencial. Já partindo de uma variedade munida de uma métrica riemanniana g e de um tensor 3-simétrico T, é possível induzir um par de conexões lineares livres de torção nela e que se relacionam através de um enfraquecimento da noção de compatibilidade com a métrica, chamadas de conexões duais uma a outra em relação a g. Elas, por sua vez, junto à métrica riemanniana, induzem um tensor 3-simétrico na variedade. Então, por meio do estudo dessas conexões, tem-se que a geometria que emerge da combinação de uma métrica riemanniana g com duas conexões planas ∇ e ∇* duais uma a outra em relação a g é equivalente, ao menos localmente, a uma única função convexa, onde essa convexidade é considerada em relação a um sistema de coordenadas afim para uma das conexões duais. Outrossim, podendo ser aplicada à teoria de informação quântica a fim de se obter limites de velocidade quânticos geométricos, a geometria da informação conduz a generalizações do princípio de incerteza para a energia e o tempo em sistemas quânticos, em que o análogo quântico da métrica de Fisher clássica produz tais limites.