Distância, na matemática e no cotidiano

• Ano de defesa: 2019
• Autor(a) principal: Approbato, Daví Carlos Uehara
• Tipo de documento: Dissertação
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP
• Palavras-chave em Português: Code; Códigos; Distance; Distância; Distância de Hamming; Distância genética; Espaço Métricos; Genetic distance; Hamming distance; Metric Space
• Link de acesso: http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/55/55136/tde-27082019-151350/

Este trabalho tem como objetivo discutir o conceito formal de distância em matemática, visando depois apresentar exemplos do conceito de distância em situações do dia a dia. Em geral com esse trabalho pretendemos que o leitor menos familiarizado entenda a importância do conceito matemático de distância. Distância é muito mais que o comprimento do segmento entre dois pontos e isso será apresentado em cada capítulo. O assunto foi inspirado pelo livro Encyclopedia of Distances Deza Michel Marie (2009), no qual são apresentados, espaços métricos, métricas em várias áreas e aplicações. No segundo capítulo, será apresentado a definição de espaços métricos. No terceiro capítulo serão apresentados alguns exemplos de métricas. As três primeiras métricas, as mais comuns: métricas euclidiana e máxima em R e R2. Também serão apresentadas as generalizações de cada uma delas em Rn. O próximo capítulo, o quarto, é destinado a apresentar o estudo sobre espaços normados, pois por meio desses conceitos pode-se analisar as distâncias entre vetores e matrizes. Veremos que a relevância dessas distâncias auxilia, por exemplo, na compreensão de aproximações de soluções de sistemas. No capítulo de distância de funções será apresentado um breve comentário sobre a série de Fourier, com relação ao método da aproximação através da decomposição de funções periódicas. Para analisar o quanto as funções trigonométricas estão se aproximando, usa-se o conceito de distância entre funções, as medições são feitas de acordo com as aproximações vão aumentando, essa distância \"erro\" entre elas tende a zero. Na teoria dos códigos, é preciso introduzir o conceito de distância entre \"palavras\", isso permite verificar se o código enviado teve alguma alteração, provocada por uma interferência ou ruídos durante a trajetória. Em algumas situações, o código consegue corrigir e compreender a palavra enviada mesmo tendo sofrido alterações no percurso. Nestes casos, há o estudo da métrica de Hamming. Já pela métrica de Hausdoorf, proposta pelo matemático de mesmo nome, é possível calcular com maior precisão a distância entre conjuntos fechados e limitados. Esta métrica pode ser utilizada em estudos de reconhecimento facial, por exemplo, pois as imagens das faces são transformadas em nuvens de pontos. Além disso, através do algoritmo de Dijkstra será apresentado a distância entre os vértices de um grafo convexo. Existem várias aplicações de distância entre grafos e uma delas é a questão de minimizar o custo decorrente do deslocamento entre uma transportadora e o local de entrega por exemplo. Para finalizar à discussão da importância do consenso de distância, será apresentada uma distância entre genes. Dentro deste tema, o principal cientista foi Thomas Morgan, que por meio de seus estudos conseguiu criar o primeiro mapeamento genético. Com isto, pode relacionar o conceito de distância entre genes à taxa de recombinação gênica. Finalmente, foi elaborada uma atividade com alunos do ensino médio com o objetivo de analisar os conhecimentos que os estudantes têm sobre distância. Esta atividade também foi importante para que os alunos pudessem compreender a necessidade de formalizar matematicamente este conceito e, principalmente, motivá-los por meio da apresentação de aplicações sobre distância, em diferentes âmbitos.