Sobre a escolha da relaxação e ordenação das projeções no método de Kaczmarz com ênfase em implementações altamente paralelas e aplicações em reconstrução tomográfica

• Ano de defesa: 2014
• Autor(a) principal: Estácio, Leonardo Bravo
• Tipo de documento: Dissertação
• Tipo de acesso: Acesso aberto
• Idioma: por
• Instituição de defesa: Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP
• Palavras-chave em Português: Computação paralela; Kaczmarz's method; Método de Kaczmarz; Métodos numéricos; Numerical algorithms; Parallel computing; Parâmetro de relaxação; Relaxation parameter
• Link de acesso: http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/55/55134/tde-19092014-102033/

O método de Kaczmarz é um algoritmo iterativo que soluciona sistemas lineares do tipo Ax = b através de projeções sobre hiperplanos bastante usado em aplicações que envolvem a Tomografia Computadorizada. Recentemente voltou a ser destaque após a publicação de uma versão aleatória apresentada por Strohmer e Vershynin em 2009 a qual foi provada possuir taxa de convergência esperada exponencial. Posteriormente, Eldar e Needell em 2011 sugeriram uma versão modificada do algoritmo de Strohmer e Vershynin, na qual a cada iteração é selecionada a projeção ótima a partir de um conjunto aleatório, utilizando para isto o lema de Johnson-Lindenstrauss. Nenhum dos artigos mencionados apresenta uma técnica para a escolha do parâmetro de relaxação, entretanto, a seleção apropriada deste parâmetro pode ter uma influência substancial na velocidade do método. Neste trabalho apresentamos uma metodologia para a escolha do parâmetro de relaxação, bem como implementações paralelas do algoritmo de Kaczmarz utilizando as ideias de Eldar e Needell. Nossa metodologia para seleção do parâmetro utiliza uma nova generalização dos resultados de Strohmer e Vershynin que agora leva em consideração o parâmetro λ de relaxação e, a partir daí, obtemos uma estimativa da taxa de convergência como função de λ. Escolhemos então, para uso no algoritmo, aquele que otimiza esta estimativa. A paralelização dos métodos foi realizada através da plataforma CUDA e se mostrou muito promissora, pois conseguimos, através dela, um ganho significativo na velocidade de convergência