| Resumo: |
Neste trabalho, são investigados métodos baseados em fórmulas fechadas para construção de autovetores de transformadas discretas de Fourier definidas (i) sobre o corpo dos reais e (ii) sobre corpos finitos. No primeiro caso, os métodos investigados, que empregam principalmente as chamadas matrizes geradoras, foram utilizados na definição de transformadas fracionárias discretas de Fourier (DFrFT) usando autovetores do tipo Hermite-Gaussiano (HGL). Com respeito a esses autovetores, foi apontada a convergência de suas componentes para amostras das funções Hermite-Gaussianas contínuas (HGF) correspondentes e foram propostas soluções para algumas restrições relacionadas à sua construção. A DFrFT proposta foi aplicada aos cenários de filtragem e de representação compacta de sinais no domínio fracionário e, nesses contextos, apresentou benefícios com relação a outras abordagens descritas na literatura. Em particular, demonstrou-se que a DFrFT em questão pode ser calculada de forma exata e aproximada com complexidade aritmética de 50% a 80% menor que a de outras DFrFT baseadas na autodecomposição da matriz da transformada discreta de Fourier. Em relação ao estudo sobre corpos finitos, foi apresentado um método, também baseado em matrizes geradoras, para construção de autovetores da transformada numérica de Fourier (FNT). Foi proposto um método para criação dessas matrizes a partir de parâmetros escolhidos; exemplos específicos foram apresentados. Foi proposta uma metodologia, baseada nas referidas matrizes, para construção de bases ortogonais de autovetores da FNT, a partir das quais se pôde definir versões fracionárias dessa transformada. A transformada fracionária numérica definida foi então utilizada no cenário de cifragem de imagem, em que medidas para caracterização de robustez a ataques criptográficos indicaram seu potencial de uso prático; comparações com diversos trabalhos correlatos existentes na literatura revelaram benefícios do esquema proposto com relação à flexibilidade e à segurança, por exemplo. |
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