On a class of elliptic equations with fast increasing weight
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Summary: | Tese (Doutorado em Matemática) — Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Brasília, 2022. |
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| spelling | Vinicius Pereira Bandeiraviniciuspbandeiramat@gmail.comFigueiredo, Giovany de Jesus Malcher2022-05-25T22:33:47Z2022-05-25T22:33:47Z2022-05-252022-02-22BANDEIRA, Vinicius Pereira. On a class of elliptic equations with fast increasing weight. 2022. 66 f. Tese (Doutorado em Matemática) — Universidade de Brasília, Brasília, 2022.https://repositorio.unb.br/handle/10482/43808Tese (Doutorado em Matemática) — Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Brasília, 2022.Neste trabalho, estudamos a existência de soluções para uma classe de problemas envolvendo um operador de crescimento rápido com peso e diferentes tipos de não linearidade. Na primeira parte do trabalho, estudamos o problema (P) −div(K(x)∇u) = a(x)K(x)|u| q−2u + K(x)f(u) in R N , onde N ≥ 3, K(x) = exp(|x| 2 4 ), 1 < q < 2 e f é uma função contínua com crescimento arbitrário no infinito. Assumindo algumas hipóteses sobre o potencial a, fazemos um tuncramento sobre a não linearidade f de modo a nos permitir usar Teoria de Genêro no problema truncado e finalmente, usando Iteração de Moser, nós mostramos que toda solução do problema truncado é também solução do problema original. Obtendo assim uma infinidade de soluções para este problema. Na segunda parte, consideramos o sistema (S) −div(K(x)∇u) = K(x)Qu(u, v) + 1 2 ∗ K(x)Hu(u, v) in R N , −div(K(x)∇v) = K(x)Qv(u, v) + 1 2 ∗ K(x)Hv(u, v) in R N , onde N ≥ 3, K(x) = exp |x| 2/4 , Q e H são funções homogeneas de classe C 1 com H tendo crescimento crítico. Usando métodos variacionais, obtemos a existência de uma solução ground state para este sistema. Além disso, também provamos um resultado de existência para uma versão com crescimento supercrítico deste sistema. Por último, consideramos o seguinte problema com crescimento crítico e um salto de descontinuidade (Pa) −div(K(x)∇u) = K(x) λh(x) + H(u − a)|u| 2 ∗−2u in R N . onde, a e λ são parâmetros positivos, h é uma função não negativa e H é a função de Heaviside definida por H(s) := 0 if s ≤ 0, 1 if s > 0. . Obtemos para a > 0 suficientemente pequeno duas soluções não negativas ui , i = 1, 2 para esta equação. A primeira solução u1 é obtida usando uma versão do Teorema do Passo da Montanha para funcionais não diferenciáveis. A segunda solução u2 foi encontrada através de uma aplicação local do Princípio Variacional de Ekeland. Além disso, mostramos também que os conjuntos de pontos x ∈ R N tais que ui(x) > a têm medida positiva e os conjuntos de pontos x ∈ R N tais que ui(x) = a têm medida nula.Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq).In this work, we study the existence of solutions for a class of problems involving an operator with rapidly growing weights and differents types of nonlinearities. First of all we study the problem (P) −div(K(x)∇u) = a(x)K(x)|u| q−2u + K(x)f(u) in R N , where N ≥ 3, K(x) = exp(|x| 2 4 ), 1 < q < 2 and f is a continuous function with arbitrary growth at infinity. Under some assumptions on the potential a, we make a suitable truncation on the nonlinearity f in such a way that we can apply Genus Theory with the truncated problem and finally, using Moser iteration we show that each solution of truncated problem is a solution of the original problem. In the second part, we consider the system (S) −div(K(x)∇u) = K(x)Qu(u, v) + 1 2 ∗ K(x)Hu(u, v) in R N , −div(K(x)∇v) = K(x)Qv(u, v) + 1 2 ∗ K(x)Hv(u, v) in R N , where N ≥ 3, K(x) = exp |x| 2/4 , Q and H are homogeneous functions of class C 1 with H having critical growth. Using variational methods, we obtain the existence of a ground state solution for this system. Furthermore, we also proved an existing result for a supercritical growth version of this system. Finally, we consider the following problem with critical growth and a jump of discontinuity (PH) −div(K(x)∇u) = K(x) λh(x) + H(u − a)|u| 2 ∗−2u in R N . where, a e λ are positive parameters, h is a nonnegative function and H is a Heaviside function defined by H(s) := 0 if s ≤ 0, 1 if s > 0. We obtain for a > 0 sufficiently small two nonnegative solutions ui , i = 1, 2 for this equation. The first solution u1 is obtained using a version of the Mountain Pass Theorem for nonsmooth functionals. The second solution u2 was obtained through a local application of the Ekeland Variational Principle. In addition, we also show that the set of points x ∈ R N such that ui(x) > a has positive measure and the set of points x ∈ R N such that ui(x) = a has zero measure.Instituto de Ciências Exatas (IE)Departamento de Matemática (IE MAT)Programa de Pós-Graduação em MatemáticaengA concessão da licença deste item refere-se ao termo de autorização impresso assinado pelo autor com as seguintes condições: Na qualidade de titular dos direitos de autor da publicação, autorizo a Universidade de Brasília e o IBICT a disponibilizar por meio dos sites www.bce.unb.br, www.ibict.br, http://hercules.vtls.com/cgi-bin/ndltd/chameleon?lng=pt&skin=ndltd sem ressarcimento dos direitos autorais, de acordo com a Lei nº 9610/98, o texto integral da obra disponibilizada, conforme permissões assinaladas, para fins de leitura, impressão e/ou download, a título de divulgação da produção científica brasileira, a partir desta data.info:eu-repo/semantics/openAccessOn a class of elliptic equations with fast increasing weightinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/doctoralThesisSolução de problemasCrescimento exponencial críticoreponame:Repositório Institucional da UnBinstname:Universidade de Brasília (UnB)instacron:UNBORIGINAL2022_ViniciusPereiraBandeira.pdf2022_ViniciusPereiraBandeira.pdfapplication/pdf1098332http://repositorio.unb.br/bitstream/10482/43808/1/2022_ViniciusPereiraBandeira.pdf6e343afb51ef32ef3b53948b00bdb61bMD51open accessLICENSElicense.txtlicense.txttext/plain671http://repositorio.unb.br/bitstream/10482/43808/2/license.txtbacfee268cc5d4f6aaa2e6e0066d38f5MD52open access10482/438082025-11-05 15:53:52.342open accessoai:repositorio.unb.br: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Repositório InstitucionalPUBhttps://repositorio.unb.br/oai/requestrepositorio@unb.bropendoar:2025-11-05T18:53:52Repositório Institucional da UnB - Universidade de Brasília (UnB) |
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