A natural constraint for solving Schrödinger equations with G-symmetry and general nonlinearities
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Summary: | Tese (Doutorado em Matemática) — Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Brasília, 2022. |
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| spelling | Pina, Gilberto da Silvagilbertospfc@yahoo.com.brMaia, Liliane de Almeida2022-08-01T22:16:22Z2022-08-01T22:16:22Z2022-08-012022-06-01PINA, Gilberto da Silva. A natural constraint for solving Schrödinger equations with G-symmetry and general nonlinearities. 2022. 124 f. Tese (Doutorado em Matemática) — Universidade de Brasília, Brasília, 2022.https://repositorio.unb.br/handle/10482/44367Tese (Doutorado em Matemática) — Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Brasília, 2022.Neste trabalho, consideramos dois problemas. No primeiro capítulo, estabelecemos a existência de uma solução positiva para a equação não linear de Schrödinger − ∆u + V (x)u = f(u), u ∈ D1,2 (R N ), N ≥ 3, (℘1) com potencial V que é invariante sob uma ação de grupo G ⊂ O(N), onde O(N) é o grupo de transformações ortogonais, e decai para zero no infinito, com uma taxa apropriada, aproximando-se da equação de campo escalar limite do tipo massa zero; e a não linearidade f, sob suposições muito suaves, é assintoticamente linear ou superlinear e subcrítica no infinito, não satisfazendo nenhuma condição de monotonicidade. Nós lidamos tanto com ações de grupos finitos quanto com ações de grupos infinitos. No segundo capítulo, estudamos a existência de uma solução positiva para uma equação não linear de Schrödinger − ∆u + V (x)u = f(u), u ∈ H 1 (R N ), N ≥ 3, (℘2) onde o potencial V é uma função positiva, invariante sob uma ação de grupo G ⊂ O(N), que decai para um potencial constante positivo V∞ no infinito. Como no primeiro problema, a não linearidade f, sob suposições muito suaves, é assintoticamente linear ou superlinear e subcrítica no infinito, não satisfazendo nenhuma condição de monotonicidade. Em ambos os problemas a existência de solução da equação é estabelecida em situações onde o nível mínimo de energia não pode ser obtido, usando a composição de dois sólitons transladados e sua projeção na chamada variedade de Pohozaev. No entanto, ao final de cada capítulo, justificamos que o método aplicado também é válido para qualquer composição finita desses sólitons.In this work, we consider two problems. In the first chapter, we establish the existence of a positive solution to the nonlinear Schrödinger equation − ∆u + V (x)u = f(u), u ∈ D1,2 (R N ), N ≥ 3, (℘1) with potential V which is invariant under a group action G ⊂ O(N), where O(N) is the group of orthogonal transformations, and decays to zero at infinity, with an appropriate rate, approaching zero mass type limit scalar field equation, and the nonlinearity f, under very mild assumptions, is asymptotically linear or superlinear and subcritical at infinity, not satisfying any monotonicity condition. We deal with both finite group actions and infinite group actions. In the second chapter, we study the existence of a positive solution for a nonlinear Schrödinger equation − ∆u + V (x)u = f(u), u ∈ H 1 (R N ), N ≥ 3, (℘2) where the potential V is a positive function, invariant under a group action G ⊂ O(N), which decays to a constant positive potential V∞ at infinity. As in the first problem, the nonlinearity f, under very mild assumptions, is asymptotically linear or superlinear and subcritical at infinity, not satisfying any monotonicity condition. In both problems the existence of solution is established in situations where the equation does not have a ground state solution, via a composition of two translated solitons and its projection on the so called Pohozaev manifold. However, at the end of each chapter, we justify that the method applied is also valid for any finite composition of these solitons.Instituto de Ciências Exatas (IE)Departamento de Matemática (IE MAT)Programa de Pós-Graduação em MatemáticaengA concessão da licença deste item refere-se ao termo de autorização impresso assinado pelo autor com as seguintes condições: Na qualidade de titular dos direitos de autor da publicação, autorizo a Universidade de Brasília e o IBICT a disponibilizar por meio dos sites www.bce.unb.br, www.ibict.br, http://hercules.vtls.com/cgi-bin/ndltd/chameleon?lng=pt&skin=ndltd sem ressarcimento dos direitos autorais, de acordo com a Lei nº 9610/98, o texto integral da obra disponibilizada, conforme permissões assinaladas, para fins de leitura, impressão e/ou download, a título de divulgação da produção científica brasileira, a partir desta data.info:eu-repo/semantics/openAccessA natural constraint for solving Schrödinger equations with G-symmetry and general nonlinearitiesinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/doctoralThesisEquação não linear de SchrödingerSolução de problemasAção de grupoSimetriaVariedade de Pohozaevreponame:Repositório Institucional da UnBinstname:Universidade de Brasília (UnB)instacron:UNBORIGINAL2022_GilbertodaSilvaPina.pdf2022_GilbertodaSilvaPina.pdfapplication/pdf1250944http://repositorio.unb.br/bitstream/10482/44367/1/2022_GilbertodaSilvaPina.pdfcc3bf27205bbc32144490c01ae347719MD51open accessLICENSElicense.txtlicense.txttext/plain671http://repositorio.unb.br/bitstream/10482/44367/2/license.txtbacfee268cc5d4f6aaa2e6e0066d38f5MD52open access10482/443672025-03-19 13:19:19.193open accessoai:repositorio.unb.br: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Repositório InstitucionalPUBhttps://repositorio.unb.br/oai/requestrepositorio@unb.bropendoar:2025-03-19T16:19:19Repositório Institucional da UnB - Universidade de Brasília (UnB) |
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