Fluxos de curvas no espaço hiperbólico e no cone de luz
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| Data de publicació: | 2020 |
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Sumari: | Tese (doutorado) — Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Humanas, Programa de Pós-Graduação em História, 2020. |
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Mostramos que, para cada vetor fixado, existe uma família a 2- parâmetros de sólitons do fluxo redutor de curvas no espaço hiperbólico bidimensional. Além disso, provamos que cada sóliton é uma curva que está definida em toda reta, é mergulhada e sua curvatura geodésica converge para uma constante em cada fim. No cone de luz, provamos que existe uma relação entre as soluções do fluxo de curvatura e as soluções do fluxo de curvatura inversa. Mostramos que uma curva no cone de luz é uma solução autossimilar do fluxo de curvatura se, e somente se, sua função curvatura difere por uma constante do produto interno entre o seu campo tangente e um vetor fixado do espaço de Minkowski tridimensional. De modo análogo, provamos que uma curva no cone de luz é uma solução autossimilar do fluxo de curvatura inversa se, e somente se, o inverso da função curvatura difere por uma constante do produto interno entre o seu campo tangente e um vetor fixado do espaço de Minkowski tridimensional. Usando a caracterização das soluções autossimilares do fluxo de curvatura fizemos o estudo qualitativo. Provamos que, para cada vetor fixado existe uma família a 2-parâmetros de soluções autossimilares para o fluxo de curvatura e para o fluxo de curvatura inversa no cone de luz. Além disso, mostramos que nos fins de uma solução autossimilar do fluxo de curvatura em Q2 a curvatura é ilimitada ou converge para uma constante. Incluímos visualizações de sólitons no espaço hiperbólico e de soluções autossimilares no cone de luz dos fluxos de curvatura e de curvatura inversa.We study the solitons of the curve shortening flow on the 2-dimensional hyperbolic space and the self-similar solutions of the curvature flow and of the inverse curvature flow on the 2-dimensional light cone. On the hyperbolic space, we show that a curve is a soliton solution to the curve shortening flow if and only if its geodesic curvature can be written as the inner product between its tangent vector field and a fixed vector of the 3-dimensional Minkowski space. We use this characterization to provide a qualitative study of the solitons. We show that for each fixed vector there is a 2- parameter family of soliton solution to the curve shortening flow on the 2-dimensional hyperbolic space. Moreover, we prove that each soliton is defined on the entire real line, it is embedded and its geodesic curvature converges to a constant at each end. On the light cone, we prove that there exists a relationship between the solutions of the curvature flow and the solutions of the inverse curvature flow. We show that a curve on the light cone is a self-similar solution of the curvature flow if, only if, its curvature differs by constant of the inner product between its tangent vector field and a fixed vector of the 3-dimensional Minkowski space. Similarly, we prove that a curve on the light cone is a self-similar solution of the inverse curvature flow if, only if, the inverse curvature function differs by a constant of the inner product between its tangent vector field and a fixed vector of the 3-dimensional Minkowski space. We use the characterization of the self-similar solutions of the curvature flow to provide a qualitative study. We prove that, for each fixed vector there is a 2-parameters family of self-similar solutions of the curvature flow and of the inverse curvature flow on the light cone. Moreover, we show that at the ends of a self-similar solution of the curvature flow the curvature is unlimited or it converges to a constant. Some solitons on the hyperbolic space and some self-similar solutions of the curvature flow and of the inverse curvature flow on the light cone are visualized.Instituto de Ciências Exatas (IE)Departamento de Matemática (IE MAT)Programa de Pós-Graduação em MatemáticaporFluxos de curvas no espaço hiperbólico e no cone de luzinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/doctoralThesisFluxo redutor de curvasFluxo de curvaturaFluxo de curvatura inversaEspaço hiperbólico bidimensionalIsometriasinfo:eu-repo/semantics/openAccessreponame:Repositório Institucional da UnBinstname:Universidade de Brasília (UnB)instacron:UNBLICENSElicense.txtlicense.txttext/plain102http://repositorio.unb.br/bitstream/10482/47878/2/license.txtaed4704d04bb260d4decd80db311aaa5MD52open accessORIGINAL2020_FábioNunesdaSilva.pdf2020_FábioNunesdaSilva.pdfapplication/pdf2381009http://repositorio.unb.br/bitstream/10482/47878/1/2020_F%c3%a1bioNunesdaSilva.pdf83c4f5361b7d40747f1801152beddea8MD51open access10482/478782025-02-27 14:30:22.18open accessoai:repositorio.unb.br:10482/47878U3VibWlzc8OjbyBlZmV0aXZhZGEgZGUgYWNvcmRvIGNvbSBsaWNlbsOnYSBjb25jZWRpZGEgcGVsbyBhdXRvciBlL291IGRldGVudG9yIGRvcyBkaXJlaXRvcyBhdXRvcmFpcy4KRepositório InstitucionalPUBhttps://repositorio.unb.br/oai/requestrepositorio@unb.bropendoar:2025-02-27T17:30:22Repositório Institucional da UnB - Universidade de Brasília (UnB) |
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