Estabilidade estocástica via funções de Lyapunov e aplicações em modelos epidemiológicos - Santos, Elias Oliveira Vieira dos (2024)
O presente trabalho apresenta uma pesquisa de mestrado em Matemática Aplicada e Computacional, onde são apresentados os tópicos de estabilidade estocástica via funções de Lyapunov e uma aplicação inicial teórica estudada, em crescimento populacional, com uso de simulações numéricas com programação em linguagem Python para gerar gráficos e melhor entender o comportamento do modelo estudado. Para isso, primeiramente são apresentados os conceitos de estabilidade via função de Lyapunov em sistemas determinísticos, contendo Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), os quais foram necessários para um melhor embasamento do caso estocástico. Assim, são apresentados noções básicas de probabilidade e processos estocásticos, conceitos de integração estocástica (contendo integral de Itô e integral de Wiener), fórmula de Itô, e Equações Diferenciais Estocásticas (EDEs), para então ser abordado a estabilidade estocástica via funções de Lyapunov e a aplicação inicial apresentada. Ademais, é apresentado o estudo de estabilidade estocástica em modelagem epidemiológica, utilizando modelos SIR estocásticos, a partir dos quais é apresentado, como uma das contribuições deste trabalho, a demonstração de uma proposição que garante a estabilidade do sistema, sob certas condições. É apresentado simulações numéricas em linguagem Python, com uso do método de Milstein, de modo a verificar através dos gráficos, as condições de estabilidades demonstradas analiticamente. Além disso, pode ser considerada uma segunda contribuição deste trabalho, a estimação de parâmetros do modelo SIRD Estocástico, com os dados reais do início da pandemia de Covid-19 na cidade de Bauru e Rio Claro, de modo a permitir a se fazer previsões do número de infectados, comparando os modelos SIRD Determinístico e Estocástico. Dessa forma, foi possível mostrar que o modelo estocástico pode trazer melhores resultados e ser mais assertivo em previsões epidemiológicas. Ademais, são apresentados nos Apêndices todos os códigos, em linguagem Python, das simulações numéricas apresentadas ao longo do trabalho, de modo que o leitor possa acessá-los na plataforma Google Colab, com a possibilidade de modificá-los, estendê-los ou adaptá-los, segundo suas necessidades em pesquisas futuras.