Expressividade e Complexidade em LÃgicas Preferenciais, HÃbridas e de Grau Limitado - Francicleber Martins Ferreira (2012)
NÃs investigamos a teoria dos modelos de LÃgicas Preferenciais, LÃgica HÃbrida e fragmentos da LÃgica de Segunda-Ordem com relaÃÃo a modelos finitos. A semÃnticas dessas lÃgicas diferem da abordagem clÃssica pelo uso de relaÃÃes entre modelos ou por restringir a cardinalidade dos modelos a cardinais finitos. Este trabalho tem trÃs partes. Na primeira parte deste trabalho nÃs estudamos a teoria dos modelos de lÃgicas preferenciais. LÃgicas preferenciais surgem no contexto do raciocÃnio nÃo-monotÃnico em InteligÃncia Artificial. A principal caracterÃstica dessas lÃgicas Ã a existÃncia de uma relaÃÃo entre modelos. Isso permite a definiÃÃo de uma relaÃÃo de consequÃncia nÃo monotÃnica considerando-se os modelos minimais de um conjunto de sentenÃas. Usando a abordagem da Teoria dos Modelos Abstrata, nÃs generalizamos alguns resultados de expressividade para classes de lÃgicas preferenciais. NÃs mostramos que sempre que uma classe de modelos minimais de um conjunto finito de sentenÃas Ã axiomatizÃvel, entÃo tal classe Ã finitamente axiomatizÃvel. NÃs mostramos que se tal classe define implicitamente um sÃmbolo do vocabulÃrio, existe uma axiomatizaÃÃo finita de uma forma particular, a saber, o conjunto finito de sentenÃas inicial mais uma definiÃÃo explÃcita para o sÃmbolo definido. Na segunda parte desse trabalho, nÃs investigamos a teoria dos modelos finitos da LÃgica HÃbrida. LÃgicas HÃbridas sÃo extensÃes da lÃgica modal atravÃs de termos hÃbridos que se referem a estados individuais em um modelo de Kripke. NÃs estudamos a complexidade computacional dos problemas de model- e frame- checking para a LÃgica HÃbrida. NÃs mostramos que para cada problema de grafos na Hierarquia Polinomial e cada nÃmero n, existe uma fÃrmula que exprime esse problema para grafos de cardinalidade n. NÃs mostramos que o tamanho das fÃrmulas Ã limitado por um polinÃmio em n. NÃs mostramos que podemos abrir mÃo das modalidades globais se nos limitarmos a grafos conexos com loops. NÃs definimos fragmentos da LÃgica HÃbrida que correspondem a cada nÃvel da Hierarquia Polinomial. Isso nos leva a uma prova alternativa da NP-dificuldade do problema de model-checking para um fragmento especÃfico de da LÃgica HÃbrida. Na Ãltima parte desse trabalho, nÃs exploramos a complexidade descritiva da lÃgica obtida ao restringirmos a quantificaÃÃo de segunda-ordem a relaÃÃes de grau limitado. Baseados em trabalhos anteriores de Schwentick et al. e de Grandjean e Olive, nÃs introduzimos a LÃgica de Segunda-Ordem de Grau Limitado e mostramos que ela captura a classe ALIN de classes de estruturas unÃrias aceitas por uma mÃquina de acesso randÃmico em tempo linear e um nÃmero fixo de alternÃncias dependente apenas do problema. NÃs estendemos essa lÃgica com o operador de fecho transitivo sobre relaÃÃes de ordem superior sobre relaÃÃes de grau limitado. NÃs mostramos que a LÃgica de Segunda- Ordem de Grau Limitado com Fecho Transitivo captura quantidade linear de registradores em uma mÃquina de acesso randÃmico nÃo-determinÃstica onde os valores armazenados em cada registrador durante a computaÃÃo sÃo limitados por uma funÃÃo linear na cardinalidade da estrutura de entrada.