Um estudo do politopo e dos limites inferiores gerados pela formulaÃÃo de coloraÃÃo dos representantes - Victor Almeida Campos (2005)
O problema de coloraÃÃo de vÃrtices Ã considerado um dos modelos mais estudados em teoria dos grafos pela sua relevÃncia em campos prÃticos e teÃricos. Do ponto de vista teÃrico, o problema de coloraÃÃo Ã NP - DifÃcil. AlÃm disto, foi classificado entre os problemas mais difÃceis de NP, no sentido de que achar uma aproximaÃÃo para o nÃmero cromÃtico tambÃm Ã NP - DifÃcil. A importÃncia do problema de coloraÃÃo tem incentivado a investigar mÃtodos para encontrar limitantes inferiores prÃximos do nÃmero cromÃtico. Historicamente, os primeiros limitantes inferiores utilizados para resolvÃ-lo lidavam com cliques maximais. Mais recentemente, popularizou-se a utilizaÃÃo de relaxaÃÃes lineares de formulaÃÃes de programaÃÃo inteira. Uma formulaÃÃo que mostrou bons limitantes inferiores foi a formulaÃÃo por conjuntos independentes, cujo valor de relaxaÃÃo equivale ao nÃmero cromÃtico fracionÃrio. No presente trabalho, fazemos uma comparaÃÃo entre as formulaÃÃes de programaÃÃo inteira conhecidas para indicar a escolha pela formulaÃÃo dos representantes. Revisamos a formulaÃÃo para remover simetrias existentes e apresentamos um estudo parcial do politopo associado ao fecho convexo de suas soluÃÃes inteiras. Discutimos como Ã possÃvel utilizar a formulaÃÃo dos representantes para gerar limites inferiores para o nÃmero cromÃtico fracionÃrio. Realizamos a implementaÃÃo de um mÃtodo de planos de corte para aproximar o nÃmero cromÃtico fracionÃrio e mostramos que podemos gerar limitantes inferiores que normalmente nÃo diferem em mais de uma unidade.