Complexidade Descritiva de Classes de Complexidade ProbabilÃsticas de Tempo Polinomial e das Classes ⊕P e NP∩coNP AtravÃs de LÃgicas com Quantificadores de Segunda Ordem - Thiago Alves Rocha (2014)
VÃrios problemas computÃveis podem ser resolvidos de maneira mais eficiente ou mais natural atravÃs de algoritmos probabilÃsticos, o que mostra que o uso de tais algoritmos Ã bastante relevante em computaÃÃo. Entretanto, os algoritmos probabilÃsticos podem retornar uma resposta errada com uma certa probabilidade. Observe, ainda que o uso de algoritmos probabilÃsticos nÃo resolve problemas nÃo computÃveis. A Complexidade Computacional caracteriza a complexidade de um problema a partir da quantidade de recursos computacionais, como espaÃo e tempo, para resolvÃ-lo. Problemas que tem a mesma complexidade compÃem uma classe. As classes de complexidade computacional sÃo relacionadas atravÃs de uma hierarquia. A Complexidade Descritiva usa lÃgicas para expressar os problemas e capturar classes de complexidade computacional no sentido de expressar todos, e apenas, os problemas desta classe. Dessa forma, a complexidade de um problema nÃo depende de fatores fÃsicos, como tempo e espaÃo, mas apenas da expressividade da lÃgica que o define. Resultados importantes da Ãrea mostraram que vÃrias classes de complexidade computacional podem ser caracterizadas por lÃgicas. Por exemplo, a classe NP foi mostrada equivalente Ã classe dos problemas expressos pelo fragmento existencial da LÃgica de Segunda Ordem. Este estreito relacionamento entre tais Ãreas permite que alguns resultados da Ãrea de LÃgica sejam transferidos para a de Complexidade Computacional e vice-versa. Apesar da importÃncia de algoritmos probabilÃsticos e da Complexidade Descritiva, existem poucos resultados de caracterizaÃÃo, por lÃgicas, das classes de complexidade computacional probabilÃsticas. Neste trabalho, buscamos mostrar caracterizaÃÃes para cada uma das classes de complexidade probabilÃsticas de tempo polinomial. Nos nossos resultados, utilizamos quantificadores generalizados de segunda ordem para simular a aceitaÃÃo das mÃquinas nÃo-determinÃsticas dessas classes. Achamos caracterizaÃÃes lÃgicas na literatura apenas para as classes PP e BPP. No primeiro caso, a lÃgica utilizada era a de primeira ordem adicionada de um quantificador maioria de segunda ordem. Com a abordagem criada neste trabalho, conseguimos obter uma prova alternativa para a caracterizaÃÃo de PP. Com essa mesma metodologia, tambÃm conseguimos caracterizar a classe ⊕P atravÃs de uma lÃgica com um quantificador de paridade. No caso de BPP, existia um resultado que utilizava uma lÃgica com semÃntica probabilÃstica. Usando nossa abordagem de quantificadores generalizados, conseguimos obter uma caracterizaÃÃo alternativa para essa classe. Com o mesmo mÃtodo, conseguimos caracterizar as classes probabilÃsticas semÃnticas RP, coRP, ZPP e a classe semÃntica NP∩coNP. Por fim, mostramos uma aplicaÃÃo dos resultados de Complexidade Descritiva na criaÃÃo de algoritmos atravÃs de uma especificaÃÃo lÃgica.