Propriedades dinâmicas e estatísticas de sistemas hamiltonianos multidimensionais - Oliveira, Tulio Meneghelli de (2020)
O tema central desta dissertação de Mestrado é o estudo e a investigação de sistemas Hamiltonianos, através de abordagem estatística e análises das propriedades de sistemas desta classe, mais especificamente do mapa padrão e mapa de rede. Sistemas desta classe têm como uma de suas características a divisão do espaço de fases em regiões de regularidade coexistindo com o mar de caos, a depender do valor atribuído ao parâmetro de não-linearidade. No caso dos sistemas aqui escolhidos, para valores arbitrariamente pequenos deste parâmetro, a regularidade predomina no espaço de fases, sendo possível identificar apenas pequenas regiões com presença de comportamento caótico. Para valores intermediários, o espaço de fases é ?mesclado?, onde é fácil identificar as regiões tanto de regularidade quanto de caos, e é nestes casos que a dinâmica do sistema se torna complexa: nas bordas das ilhas de regularidade ocorre o aparecimento do efeito stickiness, em que trajetórias caóticas podem ser aprisionadas e comportamentos anômalos podem surgir. Para valores altos do parâmetro de não linearidade, o espaço de fases pode ser composto apenas pelo mar de caos. Ao longo do trabalho, estudamos três sistemas diferentes: o mapa padrão, o mapa de rede e duas redes de mapas padrão acoplados: uma composta por dois mapas e outra por três mapas. Para nossas investigações, utilizamos três diferentes ferramentas: a estatística dos tempos de recorrência de Poincaré (ETR), a teoria dos grandes desvios aplicada ao espectro de Lyapunov a tempo finito e, consequentemente, o decaimento das correlações temporais e, por fim, a estatística dos recordes, ferramenta usualmente utilizada nas caminhadas aleatórias. O mapa padrão e as duas redes de mapas padrão acoplados foram submetidos a investigações através dos dois primeiros métodos citados. Através destes estudos, determinamos regimes para o decaimento das curvas da ETR e os associamos às regiões do espaço de fases dos sistemas de interesse, possibilitando uma compreensão de como se dá o aprisionamento das trajetórias no espaço de fases. Além da análise da ETR, utilizamos a teoria dos grandes desvios e o decaimento das correlações temporais, a fim de provar sua viabilidade tanto computacional quanto como ferramenta para análise de sistemas Hamiltonianos multidimensionais. Por último, aplicamos ao mapa padrão e ao mapa de rede a estatística de recordes. Aqui propomos aplicá-la em sistemas Hamiltonianos a fim de ampliar as conexões entre sistemas caóticos determinísticos e processos estocásticos, e para identificar mecanismos dinâmicos que podem levar a anomalias nas quantidades medidas na análise dos recordes. Sendo assim, a pesquisa aqui desenvolvida visa contribuir para uma melhor compreensão do efeito stickiness e prover ferramentais comprovadamente eficientes no estudo de processos caóticos em sistemas determinísticos