Skew-product maps and heterodimensional cycles - Esteves, Salete (2011)
Nesta tese estudam-se as dinâmicas geradas pela criação de ciclos heterodimensionais, seja do tipo parcialmente hiperbólicas com folheações invariantes e dinâmica central unidimensional, seja associada a produtos torcidos. Num primeiro cenário, considera-se uma família, a um parâmetro, de difeomorfismos exibindo um desdobramento de um ciclo heterodimensional associado a duas selas com diferentes índices e cuja dinâmica central e dada por um difeomorfismo côncavo. O estudo da dinâmica semi-local desta família, depois do desdobramento do ciclo, e então reduzido a análise de um sistema iterado de funções, obtido pela composição de potências da aplicação côncava com uma translação. Motivado pelo estudo deste tipo de sistemas iterados de funções, introduz-se um modelo mais geral de sistemas parcialmente hiperbólicos: os produtos torcidos associados a aplicação shift de Bernoulli de n-símbolos. Em ambos os casos, obtêm-se condições que garantem a prevalência de hiperbolicidade ou, em sentido contrário, a prevalência de não hiperbolicidade. No caso dos produtos torcidos e assumindo hipóteses de não hiperbolicidade, prova-se a existência de uma medida invariante, ergódica e não-hiperbólica com um suporte não trivial. Encontra-se ainda um limite superior para o crescimento do número de orbitas periódicas. Introduz-se ainda uma família modelo de difeomorfismos, a dois parâmetros, em que um dos parâmetros está relacionado com o desdobramento do ciclo heterodimensional do tipo descrito acima, e o outro associado a uma função côncava especial que fornece a dinâmica central. Neste caso e possível localizar, em função dos dois parâmetros, intervalos escalonados de hiperbolicidade e de não hiperbolicidade e em simultâneo descrever as bifurcações secundárias associadas a transição das regiões de hiperbolicidade para as de não hiperbolicidade. In this thesis we study the dynamics generated by the creation of heterodimensional cycles, either of the partially hyperbolic type, with invariant foliations and onedimensional central dynamics, or associated to skew-product maps. In the rst scenario, we consider a one-parameter family unfolding a heterodimensional cycle associated to two saddles of di erent indices and such that the central dynamics is given by a concave di eomorphism. The study of the semi-local dynamics of this family, after the unfolding of the cycle, is then reduced to the analysis of a system of iterated functions, obtained by compositions of powers of the concave map with a translation. Motivated by the study of the this kind of iterated systems of functions, we introduce a more general model for partially hyperbolic systems: the skew-product maps associated to the bernoulli shift of n-symbols. In both cases we obtain conditions which ensure prevalence of hyperbolicity or, in the opposite direction, prevalence of non-hyperbolicity. In the skew-products case and under some non-hyperbolicity hypothesis, we prove the existence of an invariant ergodic and non-hyperbolic measure with an uncountable support. We also obtain an upper bound for the growth of the number of periodic orbits. We also introduce a two-parameter family model of di eomorphisms, being one the parameters associated to the unfolding of a heterodimensional cycle of the type described above, and the other associated to a special concave function that gives the central dynamics. In this case, depending on the two parameters, we are able to identify scalled intervals of hyperbolicity and of non-hyperbolicity, and furthermore describe the secondary bifurcations associated to the transition from hyperbolicity to non-hyperbolicity.