Optimal control problem: numerical methods for viscosity soltutions

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Main Author: Almeida, Francisco José Simões
Publication Date: 2024
Format: Master thesis
Language: eng
Source: Repositórios Científicos de Acesso Aberto de Portugal (RCAAP)
Download full: https://hdl.handle.net/10316/117831
Summary: Dissertação de Mestrado em Matemática apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia
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spelling Optimal control problem: numerical methods for viscosity soltutionsProblemas de controlo ótimo: métodos numéricos para soluções de viscosidadeOptimal control problemsHamilton-Jacobi-Bellman equationsViscosity solutionsUncertain volatility modelNumerical methodsProblemas de controlo ótimoEquações Hamilton-Jacobi-BellmanSoluções de viscosidadeModelo de volatilidade incertaMetódos numéricosDissertação de Mestrado em Matemática apresentada à Faculdade de Ciências e TecnologiaThis thesis addresses the analysis of a stochastic optimal control problem, a subject of great importance in the field of mathematical finance. The main objective is to derive a partial differential equation (PDE) through the Dynamic Programming Principle, leading to the formulation of the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation. This equation is central to modeling the value function associated with the control problem and is crucial for determining the optimal control policy.The thesis introduces the theory of optimal control, covering both deterministic and stochastic contexts. In the deterministic case, the control problem is reduced to an ordinary differential equation, while in the stochastic setting, it evolves into a partial differential equation. A key part of this analysis is proving that the value function satisfies the HJB equation, a result formalized through the Verification Theorem, which is a direct consequence of the Dynamic Programming Principle.The research then transitions into the theory of viscosity solutions, which are used to address fully nonlinear elliptic equations like the HJB. The concept of viscosity solutions is particularly useful for solving PDEs that may not have classical solutions. This work focuses on the comparison principle, a powerful tool that compares subsolutions and supersolutions within the domain of interest, provided they are properly ordered on the boundary. One of the main theoretical results established in this work is the uniqueness of viscosity solutions, guaranteed through the application of the comparison principle.Furthermore, the thesis presents a numerical scheme to solve the HJB equation, with particular emphasis on the uncertain volatility model. This model, widely used in mathematical finance, accounts for situations where the underlying asset's volatility is not known precisely but is instead constrained within a given range. The numerical method developed in this thesis is rigorously tested and shown to converge to the viscosity solution of the HJB equation, thus providing a strong link between theoretical results and practical applications.In conclusion, this thesis contributes to the mathematical understanding of optimal control problems by connecting the fine theoretical properties of viscosity solutions with numerical methods applicable to real-world financial models. The results presented here offer significant insights into the behavior of stochastic control problems and the effectiveness of viscosity solutions in providing stable and convergent numerical schemes for complex financial systems.Esta dissertação incide sobre a análise de um problema de controlo ótimo estocástico, com particular relevância no âmbito da matemática financeira. O objetivo central deste trabalho é a derivação de uma equação diferencial parcial (EDP) através do Princípio da Programação Dinâmica, culminando na formulação da equação de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB). Esta equação desempenha um papel crucial na modelação da função valor associada ao problema de controlo e na determinação da política ótima de controlo.A dissertação começa com uma abordagem teórica ao controlo ótimo, tanto em contextos determinísticos como estocásticos. No caso determinístico, o problema de controlo é reduzido a uma equação diferencial ordinária, enquanto no contexto estocástico o problema evolui para uma equação diferencial parcial. Um dos resultados principais obtidos é a verificação de que a função valor satisfaz a equação de HJB, resultado este formalizado através do Teorema de Verificação, consequência direta do Princípio da Programação Dinâmica.A partir daqui, a análise foca-se na teoria das soluções de viscosidade, que são fundamentais para tratar equações elípticas totalmente não-lineares, como a equação de HJB. As soluções de viscosidade são especialmente úteis quando se trata de resolver EDPs que não admitem soluções clássicas. A dissertação dá particular ênfase ao princípio de comparação, uma ferramenta importante que permite comparar subsoluções e supersoluções no interior de um domínio, assumindo que estão devidamente ordenadas na fronteira. Um dos resultados teóricos mais importantes aqui obtidos é a unicidade das soluções de viscosidade, garantida pela aplicação do princípio de comparação.A dissertação também apresenta um esquema numérico para a resolução da equação de HJB, com especial destaque para o modelo de volatilidade incerta. Este modelo, amplamente utilizado em finanças, lida com situações onde a volatilidade do ativo subjacente não é conhecida com precisão, mas encontra-se limitada a um intervalo pré-definido. O método numérico desenvolvido é testado exaustivamente e demonstra convergência para a solução de viscosidade da equação de HJB, proporcionando uma ligação robusta entre os resultados teóricos e as suas aplicações práticas.Em suma, este trabalho contribui para o avanço do conhecimento matemático sobre problemas de controlo ótimo, estabelecendo uma conexão sólida entre as propriedades teóricas das soluções de viscosidade e os métodos numéricos aplicáveis a modelos financeiros. Os resultados apresentados oferecem uma perspetiva valiosa sobre o comportamento de problemas de controlo estocástico e sobre a eficácia das soluções de viscosidade em garantir esquemas numéricos estáveis e convergentes para sistemas financeiros complexos.2024-09-16info:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesishttps://hdl.handle.net/10316/117831https://hdl.handle.net/10316/117831TID:203825985engAlmeida, Francisco José Simõesinfo:eu-repo/semantics/openAccessreponame:Repositórios Científicos de Acesso Aberto de Portugal (RCAAP)instname:FCCN, serviços digitais da FCT – Fundação para a Ciência e a Tecnologiainstacron:RCAAP2025-01-22T23:14:28Zoai:estudogeral.uc.pt:10316/117831Portal AgregadorONGhttps://www.rcaap.pt/oai/openaireinfo@rcaap.ptopendoar:https://opendoar.ac.uk/repository/71602025-05-29T06:11:43.297381Repositórios Científicos de Acesso Aberto de Portugal (RCAAP) - FCCN, serviços digitais da FCT – Fundação para a Ciência e a Tecnologiafalse
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