Interpretação geométrica dos problemas clássicos de Desargues, Fagnano e Malfatti - Faria, Raquel Maria Almeida (2013)
A presente dissertação de mestrado expõe um estudo que aborda as propriedades geométricas relacionadas com os problemas de Desargues, Fagnano e Malfatti, no domínio de diferentes geometrias. Em termos estruturais, o trabalho apresenta-se dividido em sete capítulos. O primeiro capítulo é dedicado à introdução. No segundo capítulo são introduzidos os conceitos teóricos básicos e as principais ferramentas utilizadas referentes às geometrias não euclidianas envolvidas no estudo. Atendendo à natureza dos problemas selecionados, são abordadas a geometria projetiva, a geometria hiperbólica e a geometria inversiva. Nos três capítulos seguintes, é apresentado um estudo geométrico dos referidos problemas, onde se exploram as respetivas propriedades e eventual aplicação. Destacamos, sempre que possível, as características específicas que despertaram o interesse dos matemáticos, perpetuando o seu estudo até aos nossos dias. O terceiro capítulo é dedicado ao problema de Desargues, mais conhecido pelo teorema dos dois triângulos. No quarto capítulo estudamos o problema de Fagnano, que consiste em inscrever num triângulo acutângulo um outro triângulo que tenha o mínimo perímetro possível. No quinto capítulo exploramos o problema de Malfatti, também relacionado com o triângulo, mas cujo objetivo é o de inscrever num triângulo dado três círculos, sendo cada um tangente externamente aos outros dois e simultaneamente tangente a dois lados do triângulo. Em cada um desses capítulos, apresentamos as referências históricas relacionadas com os problemas e respetivos autores. O sexto capítulo é dedicado à apresentação do resultado prático desenvolvido com base no estudo efetuado, o Jogo do Paralelo. Este jogo combina a figura geométrica comum aos três problemas, o triângulo, com o conceito de paralelismo, que diferencia a geometria euclidiana das geometrias não euclidianas. No trabalho de pesquisa e investigação efetuado, presente de forma sintética e clara nos capítulos terceiro a quinto, foi utilizado, como recurso tecnológico, o programa informático Geogebra 4.2. No capítulo final, destacamos uma visão conjunta dos problemas estudados, bem como os possíveis contributos do presente trabalho no desempenho docente da autora.