Computability with polynomial differential equations - Graça, Daniel (2007)
Nesta dissertação iremos analisar um modelo de computação analógica, baseado em equações diferenciais polinomiais. Começa-se por estudar algumas propriedades das equações diferenciais polinomiais, em particular a sua equivalência a outro modelo baseado em circuitos analógicos (GPAC), introduzido por C. Shannon em 1941, e que é uma idealização de um dispositivo físico, o Analisador Diferencial. Seguidamente, estuda-se o poder computacional do modelo. Mais concretamente, mostra-se que ele pode simular máquinas de Turing, de uma forma robusta a erros, pelo que este modelo é capaz de efectuar computações de Tipo-1. Esta simulação é feita em tempo contínuo. Mais, mostramos que utilizando um enquadramento apropriado, o modelo é equivalente à Análise Computável, isto é, à computação de Tipo-2. Finalmente, estudam-se algumas limitações computacionais referentes aos problemas de valor inicial (PVIs) definidos por equações diferenciais ordinárias. Em particular: (i) mostra-se que mesmo que o PVI seja definido por uma função analítica e que a mesma, assim como as condições iniciais, sejam computáveis, o respectivo intervalo maximal de existência da solução não é necessariamente computável; (ii) estabelecem-se limites para o grau de não-computabilidade, mostrando-se que o intervalo maximal é, em condições muito gerais, recursivamente enumerável; (iii) mostra-se que o problema de decidir se o intervalo maximal é ou não limitado é indecídivel, mesmo que se considerem apenas PVIs polinomiais.