Estimação do operador de covariância do limite do processo empírico - Azevedo, Cecília Maria (2002)
Com este trabalho pretendemos contribuir para a obtenção de majorações das probabilidades de cauda de estatísticas de decisão que dependem do processo empírico quando este é construído a partir de variáveis aleatórias com um determinado tipo de dependência positiva. A estatística de Cramèr-von Mises sendo, como se sabe, a norma do processo empírico relativamente à topologia de ... serviu-nos como referência principal neste trabalho. No entanto, a maior parte dos resultados obtidos podem ser aplicados a outras estatísticas. Sob algumas condições de regularidade da sucessão associada e estritamente estacionária ... de variáveis aleatórias reais com função de distribuição F, a convergência em distribuição do processo empírico em ... provada por Oliveira e Suquet em 1998, abre caminho ao estudo das probabilidades de cauda atrás referidas, via processo limite deste processo empírico. Tal processo limite é um processo Gaussiano centrado com função de covariância ... dada por ... onde ... representa a função de distribuição de ... . Devido à sua complexidade, esta função necessita de ser aproximada. Os seus valores próprios, em particular o seu maior valor próprio, revelam-se fundamentais para a caracterização daquelas probabilidades de cauda. Assim, e numa primeira fase, estudamos um estimador do tipo núcleo para ... , partindo do estudo de estimadores para as funções de distribuições bivariadas dos pares associados ... , com ... , que aparecem na função de covariância. Este estudo envolve as propriedades habituais de consistência e de convergência das distribuições de dimensão finita. Todos os resultados relativos a convergências quase certas ou em média quadrática são acompanhados das respectivas velocidades. Obtemos, ainda, a ordem óptima de convergência da sucessão de comprimentos de janelas que surge na definição do estimador, generalizando as caracterizações unidimensionais. Relativamente ao estimador para a função ... fazemos, também, um estudo da sua consistência e da ordem óptima do número de termos a somar na estimação da série envolvida naquela função, com base nas velocidades de convergência que foram sendo obtidas. O facto de, como referimos anteriormente, as probabilidades de cauda dependerem do maior valor próprio desta função, leva-nos à implementação de um programa numérico para o cálculo do maior valor próprio dos estimadores que obtemos com base em simulações. É levado a cabo, ainda, um estudo dos erros cometidos quando aproximamos os valores próprios da função de covariância pelos valores próprios dos estimadores.