Estudo prático de regularidade de problemas de programação semidefinida - Macedo, Eloísa Catarina Monteiro de Figueiredo Amaral e (2010)
Um problema linear de Programa c~ao Semide nida (SDP) consiste na minimiza c~ao de uma fun c~ao linear sujeita a condi c~ao de que a fun c~ao matricial linear seja semide nida. Um problema de SDP considera-se regular se certas condi c~oes est~ao satisfeitas. H a diferentes caracteriza c~oes de regularidade de um problema, sendo uma delas a veri ca c~ao da condi c~ao de Slater. Os problemas regulares de SDP t^em sido estudados e as condi c~oes de optimalidade para estes problemas t^em a forma de teoremas cl assicos do tipo Karush-Kuhn-Tucker, e s~ao facilmente veri cadas. Na pr atica, e frequente encontrar problemas n~ao regulares. O estudo destes problemas e bem mais complicado. Por isso, tem surgido o interesse em estudar e testar a regularidade dos problemas de SDP e deduzir condi c~oes de optimalidade e m etodos de resolu c~ao dos problemas n~ao regulares. Em Kostyukova e Tchemisova [32] e proposto um algoritmo, chamado Algoritmo DIIS (Algorithm of Determination of the Immobile Index Subspace), que permite veri car se as restri c~oes de um dado problema de SDP satisfazem a condi c~ao de Slater. A teoria que serve de base a constru c~ao deste algoritmo assenta nas no c~oes de ndices e subespa co de ndices im oveis, originalmente usadas em Programa c~ao Semi-In nita (SIP), e transpostas em [32] para SDP. Este algoritmo constr oi uma matriz b asica do subespa co de ndices im oveis, caso a condi c~ao de Slater n~ao seja veri cada. A dimens~ao desta matriz caracteriza o grau de n~ao regularidade do problema. O objectivo deste trabalho e estudar o Algoritmo DIIS, implement a- -lo e test a-lo usando v arios problemas de teste de diferentes bases de dados de problemas de SDP. O Algoritmo DIIS foi implementado e executado a partir do MatLab e os testes num ericos efectuados permitiram concluir que o programa constru do veri ca com sucesso a maioria dos problemas teste. Al em disso, o algoritmo permite caracterizar o grau de n~ao regularidade dos problemas de SDP e pode ser usado para constru c~ao de algoritmos de resolu c~ao dos problemas de SDP n~ao regulares.