Volume e energia de campos vetoriais unitários: sobre as topologias da imersão e do campo - Nicoli, Adriana Vietmeier (2023)
Este texto baseia-se em dois artigos, \\cite e \\cite, que se aprofundam no volume e energia de campos vetoriais unitários. O primeiro artigo estabelece um limite inferior não trivial para a energia de campos vetoriais unitários, tangentes a uma hipersuperfície Euclidiana, dependendo do grau da aplicação de Gauss. Ainda, quando a hipersuperfície é a esfera unitária $\\mathbb^{2n+1}$, imersa e de grau um, esse limite inferior se iguala a um valor bem estabelecido na literatura existente. Além disso, introduzimos um conjunto de funcionais $\\mathcal_k$ definidos em uma variedade Riemanniana compacta $M^$, onde $1\\leq k\\leq m$. Demonstrando um comportamento análogo ao resultado anterior, quando a variedade subjacente é uma hipersuperfície fechada, estes funcionais apresentam propriedades semelhantes quanto ao grau de imersão. Por fim, estabelecemos que os fluxos Hopf minimizam o funcional $\\mathcal_n$ na esfera unitária $\\mathbb^{2n+1}$. No segundo artigo, contribuímos com uma nova perspectiva ao fornecer um limitante inferior para o volume de um campo vetorial unitário tangente a uma esfera Euclidiana perfurada antipodalmente $\\mathbb^$. Este valor inferior está intrinsecamente ligado ao comprimento de uma elipse, determinado pelos índices de Poincaré das singularidades do campo. Também exibimos campos vetoriais $\\vec_k$ dentro de cada classe de índice e mostramos que eles são os únicos minimizantes para o volume. Esses campos possuem áreas dadas essencialmente pelo comprimento das elipses dependendo apenas dos índices nos pontos antipodais, $N$ e $S$.