Hipersuperfícies completas e mergulhadas em espaços produto - Cuyo, Leonel Renzo Ccama (2023)
As hipersuperfícies f : Mn → Qnε × R, ε ∈ {1,0,1}, onde Qnε denota uma forma espacial simplesmente conexa com curvatura ε, que pertencem à classe A, são aquelas para as quais gradh é uma direção principal do seu operador forma A, sendo h a função altura de f . Exemplos fundamentais de tais hipersuperfícies são: subconjuntos abertos de slices Qnε × R, produtos Mn-1 × R, onde Mn-1 é uma hipersuperfície em Qnε, além de imersões isométricas f : : Mn → Qnε × R, que são construídas utilizando uma família paralela de hipersuperfícies em Qnε e uma função suave de uma variável real. Um fato notável é que qualquer hipersuperfície pertencente à classe A deve ser ou um destes exemplos fundamentais ou é localmente dado pelas últimas imersões isométricas. Neste trabalho, apresentamos o enunciado preciso por trás deste fato e o demonstramos. Por outro lado, hipersuperfícies completas em Hn × R com segunda forma fundamental definida positiva cuja função altura tem pelo menos um ponto crítico, além de serem mergulhadas são também homeomorfas à esfera Sn ou ao espaço Euclidiano Rn, e são a fronteira de um determinado conjunto convexo, onde H denota uma variedade de CartanHadamard arbitrária. Este é o conteúdo essencial de um teorema do tipo Hadamard-Stoker para hipersuperfícies completas em H × R o qual também é apresentado. Além disso, mostraremos que estas hipersuperfícies são rígidas entre as hipersuperfícies de mesma curvatura extrínseca