Estados de equilíbrio na teoria quântica em topoi - Tezzin, Alisson Cordeiro Alves (2020)
Nessa dissertação buscamos caracterizar estados de equilíbrio termodinâmico na formulação contravariante da teoria quântica em topoi. Como esse tipo de abordagem à teoria quântica é relativamente novo, procuramos também fazer uma exposição autocontida - ao menos do ponto de vista matemático - dos elementos principais desta. Em relação ao equilíbrio termodinâmico estudamos duas propriedades fundamentais: invariância com respeito à evolução temporal e a condição KMS. Caracterizamos a invariância temporal através das medidas definidas no pré-feixe espectral; mais precisamente, determinamos uma condição que é satisfeita por uma medida se, e somente se, o estado ao qual ela está associada é invariante. Essa caracterização se justifica pois tais medidas constituem uma das tentativas de se introduzir uma noção satisfatória de estado na teoria quântica em topoi. Não conseguimos, porém, caracterizar a condição KMS através dessas medidas e apresentamos argumentos que indicam que fazer isso, ao menos da maneira que tentamos, não é possível. Estudamo-la, então, através da noção de pseudoestado, que constitui outra tentativa de se definir estado na teoria. Para caracterizar a condição KMS introduzimos o conceito de topos associado a um estado e mostramos que no topos de qualquer estado existem ao menos duas proposições (subobjetos clopen do pré-feixe espectral) que são verdadeiras (no sentido do pseudoestado) se, e só se, o estado é KMS. Uma dessas proposições não é determinada pela daseinização de um projetor, e portanto isso pode ser entendido como uma maneira de se atribuir significado físico a uma proposição que não está na interpretação da linguagem PL(S)