Álgebras m-quase inclinadas e m-quase hereditárias - Pierin, Tanise Carnieri (2015)
Apresentamos uma generalização para as classes das álgebras quase inclinadas e quase hereditárias, que chamamos de álgebras m-quase inclinadas e m-quase hereditárias. Para estas últimas, pode-se obter uma trissecção de suas categorias de módulos determinada pelas subcategorias L^m = {X indecomponível; dimensão projetiva de Y é menor ou igual a m, para cada antecessor Y de X} e R = {X indecomponível; dimensão injetiva de Y é menor ou igual a 1, para cada sucessor Y de X}, além de ser possível mostrar que se existe um módulo E_m de forma a obtermos a igualdade de conjuntos {X módulo; Hom(E_m, \\tau X) = 0} = {X módulo; dimensão projetiva de X é menor ou igual a m}, então E_m é soma de somandos de módulos em R e todo caminho de indecomponíveis com início em um somando E de E_m e final em um módulo projetivo pode ser refinado a um caminho de morfismos irredutíveis, que é ainda seccional. Como consequência desse resultado obtém-se que as álgebras m-quase hereditárias são caracterizadas pelo fato de que todos seus módulos projetivos pertencem a L^m. É possível verificar que toda álgebra m-quase inclinada de dimensão global m+1 é m-quase hereditária e, consequentemente, que toda álgebra hereditária por partes de tipo mod H, para alguma álgebra hereditária H, com dimensão global m+1 é m-quase hereditária. Apresentamos ainda um exemplo de uma álgebra 2-quase hereditária que não é 2-quase inclinada, não sendo válida, portanto, a recíproca do resultado acima. Buscamos, dessa forma, estabelecer condições que quando assumidas sobre uma álgebra 2-quase hereditária possam garantir que esta é 2-quase inclinada e, em particular, hereditária por partes. Recorremos, para isso, à aplicação obtida por meio de uma adaptação de resultados de Happel, Reiten e Smalo, que sob certas hipóteses permite concluir que uma álgebra é álgebra de endomorfismos de um objeto inclinante. Como resultado, mostra-se que uma álgebra 2-quase hereditária com certas outras propriedades e que satisfaz as condições (H1), (H2) e (H3) é 2-quase inclinada.