Limite hidrodinâmico para neurônios interagentes estruturados espacialmente - Aguiar, Guilherme Ost de (2015)
Nessa tese, estudamos o limite hidrodinâmico de um sistema estocástico de neurônios cujas interações são dadas por potenciais de Kac que imitam sinapses elétricas e químicas, e as correntes de vazamento. Esse sistema consiste de $\\ep^$ neurônios imersos em $[0,1)^2$, cada um disparando aleatoriamente de acordo com um processo pontual com taxa que depende tanto do seu potential de membrana como da posição. Quando o neurônio $i$ dispara, seu potential de membrana é resetado para $0$, enquanto que o potencial de membrana do neurônio $j$ é aumentado por um valor positivo $\\ep^2 a(i,j)$, se $i$ influencia $j$. Além disso, entre disparos consecutivos, o sistema segue uma movimento determinístico devido às sinapses elétricas e às correntes de vazamento. As sinapses elétricas estão envolvidas na sincronização do potencial de membrana dos neurônios, enquanto que as correntes de vazamento inibem a atividade de todos os neurônios, atraindo simultaneamente todos os potenciais de membrana para $0$. No principal resultado dessa tese, mostramos que a distribuição empírica dos potenciais de membrana converge, quando o parâmetro $\\ep$ tende à 0 , para uma densidade de probabilidade $ho_t(u,r)$ que satisfaz uma equação diferencial parcial nâo linear do tipo hiperbólica .