Dicotomias em equações diferenciais impulsivas - Moreno, Angela Leite (2005)
Neste trabalho, tratamos da teoria fundamental de dicotomias para certa equação diferencial linear com impulsos a tempo pré-fixado. Consideramos condições necessárias e suficientes para a existência de dicotomia exponencial e dicotomia ordinária para esta equação e apresentamos algumas consequências destes fatos. Escrevemos abreviadamente EDI para significar equação diferencial impulsiva. Alguns dos resultados interessantes contidos neste texto estão descritos a seguir. Apresentamos algumas relações entre crescimento limitado e dicotomia exponencial para a EDI em estudo. Apresentamos, também, condições para a equivalência entre a existência de dicotomia exponencial para a EDI que tratamos e a admissibilidade de certos pares de funções para uma perturbação desta EDI. Em particular, se nossa EDI tiver uma dicotomia exponencial, então, dada certa perturbação limitada, obtemos uma EDI não-homogênea que admitirá solução também limitada e vale a recíproca. Nós contribuímos com este resultado provando o fato de que o espaço das funções limitadas pode ser substituído pelo espaço das funções limitadas com limite no infinito. Assim, se a EDI tiver uma dicotomia exponencial, então dada uma perturbação limitada com limite no infinito, a EDI perturbada admitirá uma solução também limitada e com limite no infinito e a recíproca é verdadeira. Outro resultado importante diz que se a EDI estudada for quase periódica e tiver uma dicotomia exponencial sobre R+, então ela terá uma dicotomia exponencial sobre toda a reta. E a nossa contribuição aqui se deu através de um resultado mais geral que diz que se a EDI tiver uma dicotomia sobre um intervalo finito de comprimento suficientemente grande, então ela terá uma dicotomia sobre toda a reta.