Proposta de novos métodos para a estimação de parâmetros em equações diferenciais ordinárias - Mello, André Thomaz Gandolpho de (2020)
O ramo da cinética química estuda modelos que descrevem o comportamento de reações químicas. Para que o modelo se comporte como esperado e seja válido, é preciso que seus coeficientes de taxa de reação estejam de acordo com a realidade do fenômeno. Nesse contexto, o trabalho apresenta novas formas de realizar a estimação desses valores. Problemas de estimação de parâmetros, também denominados Problemas Inversos, são, especialmente nessa área, notoriamente difíceis por conta do mal condicionamento e não convexidade da superfície a ser otimizada. Propomos um novo método que leva em consideração propriedades das Equações Diferenciais Ordinárias, incorporando técnicas de integração numérica ao estimador. Essa abordagem visa suavizar a superfície de otimização, facilitando a convergência a seu mínimo global. Intitulado Data Shooting, verificamos que seu custo computacional supera em até 4 ordens de magnitude a alternativa clássica, denominada Single Shooting. Sua acurácia, por outro lado, mostra-se inferior para os casos mais complexos. O custo de suavizar a superfície de otimização é a introdução de um viés ao modelo, uma troca conhecida na área de aprendizado de máquina como bias-variance tradeoff. Propomos então a utilização deste método como o primeiro passo em um processo de regularização de duas etapas, desenvolvido na literatura com o objetivo de lidar com o problema de mal condicionamento de Problemas Inversos. Os proponentes deste método mostram que a regularização traz grandes benefícios. Contudo, ressaltam que para fazer uso desse método os pesquisadores devem ter a priori bons valores de referência para os parâmetros que desejam estimar. Infelizmente isso nem sempre é possível na prática. Desse modo, o segundo método desenvolvido, intitulado Data to Single Shooting, consiste em utilizar os valores estimados através do método Data Shooting, em uma primeira etapa, como os valores de referência na regularização de Tikhonov do método Single Shooting, na segunda. Mesmo não obtendo resultados tão precisos quanto a alternativa clássica em alguns dos casos de teste selecionados, o Data Shooting consegue evitar ficar preso em mínimos locais presentes na superfície gerada pelo Single Shooting, gerando portanto boas estimativas iniciais e de forma eficiente. Os resultados obtidos apontam que o método Data to Single Shooting possui uma boa performance na maioria dos casos, sendo aproximadamente 10% mais rápido que o método clássico no geral. Além disso, esse método proposto consegue solucionar problemas de maior complexidade para os quais o método clássico falha em encontrar uma resposta.