Congruências de retas e planos do ponto de vista da teoria de singularidades - Santos, Igor Chagas (2023)
Esta tese é dedicada ao estudo de congruências de retas e planos. Congruências de retas (resp. de planos) nada mais são que famílias parametrizadas de retas (resp. famílias parametrizadas de planos). No que diz respeito às congruências de retas, estudamos o caso a 3-parâmetros em R 4 e classificamos as singularidades genéricas das congruências (caso geral), bem como as singularidades das congruências normais e normais Blaschke, neste último caso fornecendo uma resposta positiva para a conjectura apresentada por Izumiya, Saji e Takeuchi em 2003. Motivados pelo estudo das congruências normais Blaschke, também iniciamos o estudo de frontais sob o ponto de vista da geometria afim, generalizando a ideia de estrutura equiafim para frontais, definindo o campo Blaschke para frontais, fornecendo exemplos e um teorema fundamental para a teoria equiafim apresentada. Levando em conta o aspecto mais geométrico das congruências de retas apresentado na teoria introduzida por Ernst Kummer para o caso regular, estudamos congruências de retas nas quais a superfície diretora é um frontal, obtendo resultados que generalizam a teoria dada por Kummer. Além disso, considerando famílias parametrizadas de planos, apresentamos um teorema de classificação genérica das singularidades destas congruências, seguindo o método utilizado para o caso das famílias de retas.