Modelo hierárquico para gases de Coulomb: uma análise via grupo de renormalização - Hauy, Rafael Jorge (2021)
Neste trabalho consideramos o modelo do gás de Coulomb de uma espécie, em que as interações foram substituidas por uma decomposição binária com aproximação hierárquica entre os subcubos, para $n$ partículas em um hipercubo unitário de $d$ dimensões. Investigamos o sistema de $n$ partículas em um regime assintótico para $n$ grande no contexto dos grupos de renormalização e procuramos um ponto fixo, da forma $V(n,\\beta)e^{-r(\\beta)(n-\\bar{n})^2+b(\\beta)(n-\\bar{n})}$ para as equações encontradas, onde $\\bar{n}$ denota o número de partículas de um estado fundamental e $V$ é uma função periódica, com período $2^d$. Com as análises feitas encontramos uma equação que relaciona as escalas do modelo por uma convolução \\begin{equation*} \\tilde{M}_n=\\sum_{m_1=-\\infty}^{\\infty}\\sum_{m_2=-\\infty}^{\\infty}\\cdots\\sum_{m_{k-1}=-\\infty}^{\\infty}e^{-r(\\beta\')\\left((n-m_1)^2+\\sum_{i=1}^{k-2}(m_i-m_{i+1})^2+m_{k-1}^2ight)}. \\end{equation*} Essa convolução tem um caráter oscilatório, que podemos observar aplicando a fórmula de Poisson nas convoluções, resultando em\\begin{equation*} \\tilde{M}_n=\\sqrt{\\frac{(\\pi/r(\\beta\'))^{k-1}}{k}}\\sum_{\\xi\\in\\mathbb{Z}^{k-1}}e^{-\\frac{\\pi^2}{r}(\\xi,\\tilde{J}_{k-1}^{-1}\\xi)}e^{-2\\pi i (n-\\alpha)\\sum_{j=1}^{k-1}\\frac{j}{k}\\xi_j}. \\end{equation*} Exploramos também o comportamento de um ponto fixo gaussiano, mostrando que nessa classe de funções ele é estável.