Análise de equações diferenciais parciais com condições de contorno dinâmicas: teoria, implementação e aplicações com o método dos elementos finitos - Saroka, Guilherme Ramalho (2023)
Neste trabalho, nosso objetivo é realizar o tratamento analítico e numérico de problemas de equações diferenciais parciais parabólicas com condições de contorno dinâmicas. Seja Rd, d = 1, . . . , n um domínio limitado e suave. O exemplo-modelo que utilizaremos é denominado problema de Wentzell, e pode ser declarado da seguinte forma: dados fL2([0,[,L2()),u0 H1()e,>0, encontrar u:×[0,[R talque uu = f em ×[0,[, t Veremos que há uma única solução fraca u L2 [0, [; H1() H1 [0, [; L2() L2() , para a formulação fraca do problema de Wentzell: \\int u·vdx+Z vu ds+ \\int vtu dx+Z tuv ds = \\int fvdx, vH1(), para cada t [0,[ fixado. Cabe destacar que também abordaremos a contrapartida estacionária do problema de Wentzell. Inicialmente, para o tratamento analítico, apresentaremos alguns resultados da teoria de espaços de Hilbert e Sobolev a fim de obter a existência e unicidade de soluções fracas para os problemas propostos. Após obter a solução fraca, discretizaremos os problemas (com uma e duas dimensões espaciais) para obter soluções aproximadas por meio do método dos elementos finitos. Serão desenvolvidos em Python os métodos Ritz-Rayleigh para problemas elípticos e o método de Crank-Nicolson para problemas parabólicos, tanto em uma quanto em duas dimensões. Em duas dimensões, utilizaremos a biblioteca open-source FEniCS. Por fim, a análise numérica está intrinsecamente relacionada ao estudo do erro e, consequentemente, da ordem de convergência. Demonstraremos os teoremas de ordem de convergência dos métodos aplicados aos problemas unidimensionais e ao problema bidimensional elíptico.