Unidades Hipercentrais em Anéis de Grupo. - Iwaki, Edson Ryoji Okamoto (2000)
Grande parte dos problemas em Anéis de Grupo centraliza-se em torno do estudo do seu grupo de unidades. Torna-se importante então conhecermos a estrutura do grupo de unidades de um anel de grupo U(ZG). No entanto, salvo raras exceções, pouco se conhece acerca da estrutura de U(ZG). Uma das idéias para se conhecer um pouco mais sobre a estrutura do grupo de unidades seria estudarmos a sua série central superior. No caso em que o grupo G é finito, um resultado de Gruenberg pode ser usado para mostrar que a série central superior de U = U(ZG) estaciona. Este fato nos possibilita estudarmos o hipercentro de U(ZG). A fim de obter mais informações sobre as unidades hipercentrais de U(ZG), nós necessitamos de uma descrição dos subgrupos de torção do hipercentro de U(ZG), o qual obtemos através dos resultados de Bovdi sobre os subgrupos normais periódicos de U(ZG). De modo geral, utilizando os resultados de Bovdi obtemos uma classificação dos grupos periódicos G em função do subgrupo dos elementos % de torção do hipercentro de U(ZG). Neste momento, surgem algumas perguntas, as quais procuraremos expor neste trabalho. Entre elas: O limitante superior para a série central superior de U(ZG) depende do grupo G? Como determinar a altura central superior de U(ZG)? Neste momento é interessante salientarmos como a Conjectura do Normalizador nos possibilita obtermos uma estimativa para a altura central de U(ZG). Todas estas perguntas são respondidas no capítulo 4, como resultado dos trabalhos de Arora, Hales, Passi que nos garantem que neste caso a altura central de U(ZG) é no máximo 2. Embora a demonstração original deste fato, devido a Arora, Hales e Passi, não tenha utilizado a Conjectura do Normalizador, tomamos neste trabalho a idéia de supormos um provável caminho que levasse a este resultado obtendo estimativas para a altura central de U(ZG) utilizando a Conjectura do Normalizador e um teorema de Gross. Nosso intuito com isso foi o de conectarmos a resolução do problema em questão com um problema de pesquisa intensa atual na área, ou seja, a Conjectura do Normalizador. Nesse caso, surge mais uma pergunta: Quais os grupos G tais que U(ZG) admite altura central exatamente 0, 1 ou 2? Pergunta que é respondida por Arora, Hales e Passi também. Finalmente, mais um resultado de Arora, Hales e Passi nos mostram uma caracterização do hipercentro de U(ZG) que surpreendentemente bate com a estimativa dada pela Conjectura do Normalizador. É interessante notar aqui o aparecimento da Conjectura do Normalizador tanto para obtermos uma estimativa da altura central de U(ZG) como na caracterização do hipercentro de U(ZG). No capítulo 5 apresentamos a generalização dos resultados de Arora, Hales e Passi para o caso em que o grupo G é periódico, cujos resultados se devem basicamente a Y.Li. No caso em que o grupo G é periódico, Li mostrou que a altura central de U(ZG) é no máximo 2. E introduzindo o conceito de n-centro de um grupo, obtém-se uma caracterização do n-centro de U(ZG) em função dos resultados sobre o hipercentro do grupo de unidades.