Probabilidades de transição e fundamentos de geometria diferencial generalizada - Moraes, Paulo Cristiano Queiroz (2023)
Estudamos probabilidades de transição de operadores generalizados como introduzido por Colombeau e Gsponer e as associamos ao conceito de suporte para firmar este último como uma potente ferramenta para transportar informações para o ambiente clássico quando problemas de realidade física são modelados no ambiente generalizado. Também analisamos este problema sob o ponto de vista das funções quase periódicas de H. Bohr e desenvolvemos ferramentas adequadas para o cálculo do valor médio. Revisitamos exemplos da literatura e exibimos os cálculos. Isto pode contribuir com o estudo de probabilidades de transição no espaço de Fock como originalmente abordado por estes autores. Construir ambientes que possam lidar com singularidades e não linearidades é fundamental para encontrar soluções de certas equações diferenciais. Em tais ambientes, infinitesimais e infinitos devem coexistir e o colapso de seus encontros deve ser analisado por ferramentas apropriadas. Nesse sentido, mostramos que uma variedade Riemanniana M pode ser discretamente mergulhada em uma variedade generalizada M*, nesta última existem infinitesimais, sua estrutura subjacente contém infinitos, singularidades desaparecem, produto de distribuições faz sentido e problemas em M podem ser levantados para M*. Tudo isto é feito no intitulado ambiente full, o que nos permitiu uma conexão a uma teoria global existente apresentando um teorema de mergulho de K-álgebras de G^(M) em C^infty(M*,R^~_f). Também provamos um teorema de ponto fixo que pode ser usado neste contexto. Estabelecemos assim os fundamentos de uma geometria diferencial generalizada muito similar a teoria clássica. Nossa teoria nos permite definir o espaço-tempo generalizado e usá-lo para sugerir explicações para fenômenos no espaço-tempo clássico. Por fim, construímos exemplos de ações parciais de grupos no anel dos números generalizados R como um ensaio para estabelecer um ponto de partida desta teoria para os chamados conjuntos internos fortes.