Blow-up de soluções positivas de equações semilineares - Alves, Fernanda Tomé (2006)
Considere o problema de valor inicial e de fronteira \'u IND.t\'= \'delta\'u + f(u) em \'ômega\' x (0, T), u(x, 0) = \'fi\'(x) se x \'PERTENCE A\' \'ômega\', u(x, t) = 0 se x \'PERTENCE A\' \'delta\' \'ômega\', 0 < t < T, onde \'ômega\' é um domínio limitado em \'R POT.n\'com bordo \'C POT.2\', f é continuamente diferenciável com f(s) > 0, e \'fi\' é não-negativa e suave sobre \'ômega\'\'BARRA\' com \'fi\'=0 sobre \'delta\'\'ômega\'. Suponha que a única solução u(x,t) possui blow-up em tempo finito T < \'INFINITO\'. A questão que se coloca é: onde ocorre o blow-up? Neste trabalho provamos que: se \'ômega\'=\'B IND.R\'\'ESTÁ CONTIDO EM\'\'R POT. n\', então o blow-up ocorre apenas em r=0, Além disso, se f(u)=\'u POT.p\'p > 1, então u(r,t)\'< OU = \'C/\'r POT.2\'(\'gama\'-1) para qualquer 1 < \'gama\'< p, e assim \'limsup IND. t\'SETA\'T\'-||u(u.\'t)||q < \'INFINITO\'se q < n(p-1)/2. No caso não simétrico onde \'ômega\' é um domínio complexo, provamos que conjunto de blow-up é um subconjunto compacto de \'ômega\'. Se f(u)=\'u POT.p\', p > 1, então u(x,t)\'< OU = \'C/\'(T-t) POT. 1/p-1\' e, se n=1,2 ou se n\'< OU=\'3 p\'< OU=\'(n+2)/(n-2), então \'tau\'POT. \'beta\'u(x+\'Ksi\', T-\'tau\'\'SETA\'\'C IND. 0\' quando \'tau\'\'SETA\'\'0 POT. 1/2\'e \'C IND. 0\'= \'beta\'POT.\'beta\'\'onde \'beta\'= \'(p-1) POT. -1\'. As provas das estimativas essenciais para demonstração desses resultados são feitas utilizando o Princípio do Máximo