A variância dos pontos de máximo ou de mínimo de equações de regressão de segundo grau - D'Aulísio, Marli de Bem Gomes (1976)
No presente trabalho procuraram-se avaliar os erros experimentais na determinação dos pontos de máximo ou de mínimo de equações de regressão de 2º grau e estudar a distribuição probabilística a que pertencem. Geraram-se, para isso, através da sub-rotina CALL RANDU, 16.000 dados de distribuição aproximadamente normal, que tiveram suas mídias e variâncias ajustadas, para formarem os 8 casos estudados. Obtivemos, assim, 1.000 valores que chamamos de b̂ e 1.000 valores que chamamos de ĉ, para cada σ2 considerado, valores esses relativos à equação Y = â + b̂ P1 (x) + ĉ P2 (x), onde P1 (x) e P2 (x) são polinômios ortogonais. Portanto b̂ e ĉ são independentes. O ponto de máximo ou de mínimo (x) dessa equação será dado por x = - b̂/2 ĉ. Portanto, com os dados gerados obtivemos um total de 8.000 valores de x relativos às diferentes variâncias estudadas: 0,015625; 0,0625; 0,2500; 1,0000; 2,0000; 4,0000; 6,2500; 9,0000, sendo 1.000 valores para cada variância. Com esses valores calculamos as estimativas de variância V̂1 (x) (fórmula comum de cálculo de variância) e V̂2 (x) (fórmula apresentada por DAULÍSIO, 1970) e se pode observar que os valores de V̂2 (x) subestimam os de V̂1 (x). Calculou-se o terceiro e o quarto momento em relação à média, e também o quarto momento que deveríamos esperar se a distribuição fosse normal. Obtivemos ainda os valores de Ŷ1 (que mede a assimetria) e de Ŷ2 (que mede a curtose da distribuição), aos quais aplicamos o teste de t. Concluímos que a distribuição de x foge completamente da distribuição normal, exceto talvez para o valor mais baixo de σ2 estudado. Obtivemos quatro intervalos de confiança para x, a saber: 1) um calculado pelo método de Fieller; 2) de uma maneira empírica, considerando o equivalente a um intervalo de confiança ao nível de 5% de probabilidade, tomando para cada 1.000 dados, o maior e o menor valor observados após a eliminação dos 25 maiores e dos 25 menores; 3 e 4) os outros dois métodos usados aplicaram as fórmulas x̄ ± t √ V̂1 (x), x̄ ± t √ V̂2 (x). Concluímos que o método de Fieller nos levou a resultados absurdos para σ2 ≥ 0,2500. Em relação aos intervalos calculados pelo método empírico, tomados como padrão, foram excessivamente amplos os dados por V1 (x), e excessivamente curtos os obtidos a partir de V2 (x).