K-Teoria e aplicações para cálculos pseudodiferenciais globais e seus problemas de fronteira - Lopes, Pedro Tavares Paes (2012)
Nesta tese vamos apresentar dois resultados a respeito de K-teoria de álgebras C^{*} de classes de operadores pseudodiferenciais que são globalmente definidos em \\mathbb^. O primeiro resultado é a prova da regularidade da função \\eta para operadores clássicos com símbolos de Shubin. Vamos mostrar que a álgebra de operadores pseudodiferenciais em \\mathbb^ com símbolos de Shubin permite a construção de potências complexas e um tipo de traço de Kontsevich-Vishik numa forma muito similar àquela feita para variedades compactas, com definições até mais simples. Mostraremos, então, que podemos definir as funções \\zeta e \\eta também para esses símbolos. Finalmente mostraremos como o conhecimento de fatos simples sobre a sua K-teoria permitem a prova da regularidade da função \\eta. Para variedades compactas, esse resultado tem muitas implicações. Acreditamos assim que ele também possa ser interessante para os estudos de operadores globais em \\mathbb^. O segundo resultado é o cálculo da K-teoria de operadores limitados gerados por operadores de Boutet de Monvel SG de ordem (0,0) e tipo zero em \\mathbb_{+}^. Boutet de Monvel introduziu a álgebra que leva o seu nome para estudar o índice de operadores elípticos de fronteira em variedades compactas com bordo. Mais recentemente uma nova abordagem foi proposta por Melo, Nest, Schrohe e Schick para obter resultados sobre o índice de Fredholm usando a K-teoria de álgebras C^{*}, uma ferramenta que não era disponível ainda quando Boutet de Monvel desenvolveu sua álgebra. Nossa ideia foi, então, mostrar como calcular a K-teoria de álgebras de Boutet de Monvel com símbolos SG em \\mathbb_{+}^, em que os símbolos SG são uma classe de símbolos globalmente definidos em \\mathbb^. Acreditamos que isso possa ser útil também ao estudo de problemas elípticos de fronteira para operadores de Boutet de Monvel com símbolos SG em certas classes de variedades não compactas.