Versões probabilísticas de resultados da teoria combinatória dos números - Leite, Bruno Fernandes Cerqueira (2004)
Neste trabalho, provamos versões probabilísticas de dois teoremas clássicos da teoria combinatória dos números: os teoremas de Schur e de Sárközy. Em 1916, Schur provou que se N é finitamente colorido, uma das cores contém uma solução da equação x+y=z. Nossa versão probabilística do Teorema de Schur é, na verdade, uma versão probabilística 'de densidade' do Teorema de Schur. Ela afirma, grosso modo, que fixando-se 0<n menor ou igual a 1/2, um subconjunto 'típico' X de 'Z IND. n' = Z/nZ tem a seguinte propriedade: para todo subconjunto D contido em X com |D| maior ou igual (1/2 + n)|X|, existem x, y, z que pertencem a D satisfazendo x+y=z. Em 1978, Sárközy mostrou que se A está contido em N é um subconjunto com densidade superior positiva, então A-A contém um quadradp diferente de zero. Em nossa versão probabilística do Teorema de Sárközy, provamos que, fixado 0 < n menor ou igual a 1, um subconjunto 'típico' X de 'Z IND. n' tem a seguinte propriedade: para todo subconjunto D contido em X com |D| maior ou igual a n|X|, existem x, y pertencentes a D tais que x-y é um quadrado diferente de zero. Observamos que os dois teoremas são especialmente interessantes quando copnsideramos subconjuntos esparsos de 'Z IND. n', istoé, quando temos |X|=o)n).